[論文レビュー] Webs, Lenard schemes, and the local geometry of bihamiltonian Toda and Lax structures

Israel M. Gelfand, Ilya Zakharevich|ArXiv.org|Mar 13, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、定数係数をもつポアソン構造をもつ局所的バイハミルトニアン構造を特定するための幾何的基準を導入し、Toda格子に適用することで、開いたToda格子が局所的に次元が奇数のクライネッカー型構造に同型であることを示し、周期的Toda格子が2つの開いたToda格子の積に分解されることを示している。この手法はウェブ幾何学とレナールドスキームを用い、可積分系の局所的分類を統一的に扱うものである。

ABSTRACT

We introduce a criterion that a given bihamiltonian structure allows a local coordinate system where both brackets have constant coefficients. This criterion is applied to the bihamiltonian open Toda lattice in a generic point, which is shown to be locally isomorphic to a Kronecker odd-dimensional pair of brackets with constant coefficients. This shows that the open Toda lattice cannot be locally represented as a product of two bihamiltonian structures. In a generic point the bihamiltonian periodic Toda lattice is shown to be isomorphic to a product of two open Toda lattices (one of which is a (trivial) structure of dimension 1). While the above results might be obtained by more traditional methods, we use an approach based on general results on geometry of webs. This demonstrates a possibility to apply a geometric language to problems on bihamiltonian integrable systems, such a possibility may be no less important than the particular results proven in this paper. Based on these geometric approaches, we conjecture that decompositions similar to the decomposition of the periodic Toda lattice exist in local geometry of the Volterra system, the complete Toda lattice, the multidimensional Euler top, and a regular bihamiltonian Lie coalgebra. We also state general conjectures about geometry of more general ``homogeneous'' finite-dimensional bihamiltonian structures. The class of homogeneous structures is shown to coincide with the class of system integrable by Lenard scheme. The bihamiltonian structures which allow a non-degenerate Lax structure are shown to be locally isomorphic to the open Toda lattice.

研究の動機と目的

• バイハミルトニアン構造が定数係数ポアソン括弧をもつ局所座標系を持つための幾何的基準を構築すること。
• この基準を用いて、ウェブ理論とレナールドスキームを用いて、開いたToda格子と周期的Toda格子の局所的幾何を分類すること。
• 開いたToda格子がより単純なバイハミルトニアン構造の積に局所的に分解できないこと、一方周期的Toda格子が分解可能であることの証明。
• ボルテラ系や多変数のオイラー・トップなどの他の古典的可積分系に対しても同様の分解が存在する可能性を仮説すること。
• レナールドスキームに関連する「均質的」構造の概念を用いて、有限次元バイハミルトニアン構造の理解を統一すること。

提案手法

• 2つの相性のよいポアソン括弧の線形結合にわたるカシミール関数の相対的位置を分析するために、幾何的ウェブ理論を用いる。
• カシミール関数の微分の張る空間の次元に基づく基準を適用し、クライネッカー型バイハミルトニアン構造を検出する。
• 可積分性に不可欠な可換関数族を生成するために、レナールドスキームを用いる。
• 初期データから再帰関係を満たす構造を分類するために、「アンカーデ」および「レナールド可積分的」構造の概念を導入する。
• 局所微分同相不変性を用いて、バイハミルトニアン構造の分類を一般近傍における挙動に還元する。
• 平坦で次元が奇数のバイハミルトニアン構造は、定数係数をもつクライネッカー構造と局所的に同型であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何的条件下で、バイハミルトニアン構造が定数係数をもつクライネッカー構造と局所的に同型となるか？
• RQ2 なぜ開いたToda格子は局所的に単純なバイハミルトニアン構造の積に分解できないのか？
• RQ3 周期的Toda格子は局所的に2つの開いたToda格子の積として表現可能であり、これは可積分性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 レナールドスキームは、均質的バイハミルトニアン構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 ボルテラ系や多変数のオイラー・トップなどの古典的可積分系に対しても、周期的Toda格子と同様の局所的分解が可能かどうか？

主な発見

• 開いたToda格子は、定数係数をもつ奇数次元クライネッカー型バイハミルトニアン構造と局所的に同型であり、したがってより単純なバイハミルトニアン系の積に分解できない。
• 周期的Toda格子は、2つの開いたToda格子の積と局所的に同型であり、そのうちの1つは自明な1次元構造である。
• 基準が確立された：点においてカシミール関数の微分の張る空間の次元が (dim M + r)/2 以上であり、組み合わせたポアソン括弧の核の次元が r であれば、その近傍で構造は型 (2d₁+1, ..., 2dᵣ+1) のクライネッカー型である。
• 核の次元が一定であれば、カシミール関数微分の次元に関する条件を (dim M + r − 1)/2 に弱めることが可能であり、その結果、基点を含む開集合が得られる。
• 同じ型のクライネッカー構造はすべて局所的に同型であり、この基準はカシミール関数の幾何に基づく特徴付けを提供する。
• 本稿では、ボルテラ系や多変数のオイラー・トップを含む多くの古典的可積分系が、同様の局所的分解をもつ可能性を仮説しており、可積分系におけるより深い幾何的選択原理の存在を示唆している。