[論文レビュー] Weierstrass cycles in moduli spaces and the Krichever map

Jia-Ming, Liou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Sato Grassmannianの等長的コホモロジーを用いて、Krichever写像と曲線のモジュライ空間におけるWeierstrassサイクルを結びつけるコhomological枠組みを確立する。Weierstrassサイクルのコホモロジー類を、シフトされたおよび階乗のシュール関数を用いて明示的な式で表し、$g \leq 6$ におけるタウトロジカル関係の計算およびWeierstrass局所の次元推定を可能にする。

ABSTRACT

We analyze cohomological properties of the Krichever map and use the results to study Weierstrass cycles in moduli spaces and the tautological ring.

研究の動機と目的

• 曲線にマークドポイントをもつモジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,1}$ におけるWeierstrassサイクルのコホモロジー的構造を理解すること。
• Sato GrassmannianにおけるKrichever写像の像を分析し、シューベルトサイクルとの相互作用を検討すること。
• 等長的コホモロジーと対称関数を用いて、Weierstrassサイクルに双対なコホモロジー類の明示的公式を導出すること。
• これらの類のプッシュダウンとプルバックを用いて、$\mathcal{M}_g$ のタウトロジカル環における関係を確立すること。
• $g \leq 6$ に対して、Weierストラスサイクルの次元を推定し、定数倍を除いてそのコホモロジー類を計算すること。

提案手法

• 曲線の幾何と無限次元的Grassmannian幾何を結びつけるために、Krichever写像 $k: \widehat{\mathcal{M}}_g \to \mathrm{Gr}_{g-1}(\mathcal{H})$ を用いる。
• Grassmannianにおける $S^1$-等長的コホモロジー技法を適用し、それがシフトされた対称関数の環に同定されることを示す。
• シューベルト類のプルバック $k^*\Omega_\mu^T$ を階乗シュール関数 $t_\mu(-k^*x_i/\psi)$ の形で表現する。
• 双対コホモロジー類 $[W_H]$ を $\mathrm{const}^g s_\mu^*(z_1,\dots,z_g)(-\psi)^{|\mu|}$ の倍数として得る。ここで $z_i = (k^*x_i - (i-g-1)\psi)/(-\psi)$ である。
• プルプッシュ公式を用いて、$\mathcal{M}_g$ 内の類 $[W_S']$ を kappa-類 $\kappa_b$ と対称関数の組み合わせとして計算する。
• セールの定理を用いて、コホモロジー類の公式における定数係数の非ゼロ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weierstrassサイクル $W_H \subset \mathcal{M}_{g,1}$ のコホモロジー類は、Grassmannianの等長的コホモロジーを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 Weierstrass局所を捉えるために、Krichever写像とGrassmannianにおけるシューベルトサイクルとの明確な関係は何か？
• RQ3 Krichever写像によるシューベルトサイクル類のプルバックから、$\mathcal{M}_g$ 内のタウトロジカル関係を導出できるか？
• RQ4 $g \leq 6$ の低(genus)に対して、Weierstrassサイクルの次元は何か？ また、そのコホモロジー類は定数倍を除いて計算可能か？
• RQ5 双対類 $[W_H]$ が係数1で $\pi^{-1}k^*\Omega_\mu^T$ に比例する条件は何か？

主な発見

• Weierstrassサイクルのコホモロジー類 $[W_S]$ は、$z_i = (k^*x_i - (i-g-1)\psi)/(-\psi)$ を満たす $z_i$ を用いて $\mathrm{const}^g s_\mu^*(z_1,\dots,z_g)(-\psi)^{|\mu|}$ の倍数に比例する。ここで $\mu$ はWeierstrass列に対応する分割である。
• Krichever局所とシューベルトサイクルの交わりが横断的であるとき、比例定数は1となり、$[W_S] = s_\mu^*(z_1,\dots,z_g)(-\psi)^{|\mu|}$ が成り立つ。
• $g \leq 6$ に対して、Weierstrassサイクルの次元が推定され、[15]および[16]の計算に基づき、正確な次元と一致するか、1の差異を示すことが示された。
• 予想される次元条件が満たされているとき、$\mathcal{M}_g$ 内の類 $[W_S']$ は $\mathrm{const} \sum_i (-1)^{\nu|-i} \kappa_{|\nu|-i-1} t_\nu^i(k^*x_1,\dots,k^*x_g)$ で与えられる。ここで $\nu$ はWeierstrass列に対応する。
• コホモロジー類の公式 $[W_S]$ は、コホモロジーの余次元が $|\mu|$ と一致しない場合でも、Grassmannianシューベルト計算に由来する乗法的法則を備えた仮想Weierstrassサイクルとして有効である。
• 得られた結果により、ファーバーによるタウトロジカル環の記述と比較することで、$\mathcal{M}_g$ 内のタウトロジカル関係を体系的に計算する方法が提供される。