[論文レビュー] Weight-adjusted discontinuous Galerkin methods: curvilinear meshes

Jesse Chan, Russell J. Hewett+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何的重み付き質量行列の逆行列を重み付き数値積分を用いて近似することで、ストレージコストを低減しつつ、高次精度とエネルギー安定性を維持する、曲線メッシュ向けの重み調整不連続ガレルキン（WADG）法を提案する。この手法は、曲がった領域において最適な収束率と効率的なGPU性能を達成し、メッシュ変形に対しても高いロバスト性を示す。

ABSTRACT

Traditional time-domain discontinuous Galerkin (DG) methods result in large storage costs at high orders of approximation due to the storage of dense elemental matrices. In this work, we propose a weight-adjusted DG (WADG) methods for curvilinear meshes which reduce storage costs while retaining energy stability. A priori error estimates show that high order accuracy is preserved under sufficient conditions on the mesh, which are illustrated through convergence tests with different sequences of meshes. Numerical and computational experiments verify the accuracy and performance of WADG for a model problem on curved domains.

研究の動機と目的

• 曲線メッシュ上での従来の不連続ガレルキン（DG）法における密行列としての要素質量行列に起因する高コストなストレージを低減すること。
• 曲がった領域における時間領域波動シミュレーションでエネルギー安定性と高次精度を維持すること。
• 高価な行列分解や実時間計算を回避する、既存の曲線DG法の代替となる低ストレージ手法を開発すること。
• メモリ帯域幅とストレージ要件を最小限に抑えることで、GPU上での効率的実装を可能にすること。
• 追加の計算コストを伴わずに、空間的に変化する波速度を有する異種媒質へも拡張可能であること。

提案手法

• WADG法は、幾何的重み付き質量行列の逆行列を重み調整質量行列によって近似することで、対角行列と同等のストレージにまで低減する。
• $L^2$射影の近似に重み付き数値積分点に基づく疑似射影を採用し、誤差の上限はヤコビアンの変動に依存する。
• 体積積分と表面積分を分離する強弱形式を用いることで、効率的なGPUカーネル起動が可能になる。
• 数値フラックスは数値積分点におけるノード値から計算され、更新カーネルは空間的に変化する波速度 $c^2$ を修正された対角重み付けにより統合する。
• ヤコビアンおよび波速度の変動を質量行列近似に埋め込むことで、DG変分形式との一貫性を維持する。
• 特に高次要素においてメモリ帯域幅の利用効率を向上させるために、表面積分に分割カーネル戦略を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ストレージDG法は、空間的に変化する幾何的要因を有する曲線メッシュ上でも高次精度とエネルギー安定性を維持できるか？
• RQ2 WADG法による質量行列の逆行列近似は、離散解の条件数および収束性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 メッシュの曲がり具合が、標準DG法およびLSC-DG法と比較してWADG法の安定性と精度に与える影響は何か？
• RQ4 WADG法は、曲がった要素上で空間的に変化する波速度を有する異種媒質を、追加コストなしに効率的に扱えるか？
• RQ5 GPUアーキテクチャ上でのWADG法の計算性能は、多項式次数の変化に伴いどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• WADG法は、曲がった領域における波動伝搬問題において、$h$-および $p$-収束率を最適化し、誤差の上限がヤコビアンの変動に明示的に依存することを実証した。
• 数値実験により、WADG法は顕著なメッシュ曲がり下でも安定性と高次精度を維持でき、メッシュ変形に対する耐性が標準DG法やLSC-DG法を上回ることを確認した。
• Nvidia GTX 980 GPU上では、$N=5$ 時に最大1500 GFLOPS/sおよび200 GB/sの帯域幅を達成し、分割表面カーネルによりメモリ帯域幅の利用効率が向上した。
• 更新カーネルにおける対角重み付けの修正により、空間的に変化する波速度を有する異種媒質を、計算コストの増加なしに扱える。
• WADG疑似射影誤差は$L^2$ノルムで有界であり、ヤコビアンの正則性および数値積分重み関数に依存する明示的定数を有する。
• 特異写像を有する非アフィン要素（例：遷移ピラミッド）には適用できない。$h$-および $p$-細分化において収束が停止する。