[論文レビュー] Weight-adjusted discontinuous Galerkin methods: wave propagation in heterogeneous media

Jesse Chan, Russell J. Hewett+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非一様な媒質における波動伝播を扱うために、要素毎の重み付き質量行列を同等の重み調整内積に置き換えることで、保存領域コストを増加させることなくエネルギー安定性と高次精度を達成する重み調整不連続ガレルキン（WADG）法を提案する。この手法は計算効率を維持し、既存のDGフレームワークと互換性があり、最適収束性と超収束的保存誤差を達成する。

ABSTRACT

Time-domain discontinuous Galerkin (DG) methods for wave propagation require accounting for the inversion of dense elemental mass matrices, where each mass matrix is computed with respect to a parameter-weighted L2 inner product. In applications where the wavespeed varies spatially at a sub-element scale, these matrices are distinct over each element, necessitating additional storage. In this work, we propose a weight-adjusted DG (WADG) method which reduces storage costs by replacing the weighted L2 inner product with a weight-adjusted inner product. This equivalent inner product results in an energy stable method, but does not increase storage costs for locally varying weights. A-priori error estimates are derived, and numerical examples are given illustrating the application of this method to the acoustic wave equation with heterogeneous wavespeed.

研究の動機と目的

• 局所的に変化する音速を有する波動伝播に適用する不連続ガレルキン（DG）法における高コストな記憶領域の問題を解決すること。
• 要素固有の質量行列の保存や因子分解を回避しつつ、エネルギー安定性と高次精度を維持すること。
• 高次DGスキームのメモリ使用量を削減することで、GPUアーキテクチャにおける効率的な実装を可能にすること。
• 既存のDGコードに対して侵襲的でない修正を提供し、計算構造とスケーラビリティを保持すること。
• 滑らかな音速に対して漸近的整合性と超収束的保存誤差を保証すること。

提案手法

• エネルギー安定性を保つために、パラメータ重み付き$L^2$内積を重み調整内積に置き換える。
• 低次元積分（次数$2N+1$）を用いた積分に基づく変分式を採用し、重み調整質量行列を計算する。
• 空間的に変化する音速を内積構造に組み込むように変更された基底を用いて、重み付き質量行列を近似する。
• 重み調整内積が有効なノルムを誘導することを保証し、エネルギー安定性を確立する。
• 要素内で不連続または滑らかに変化する音速を持つ線形波動方程式にこの手法を適用する。
• 必要に応じて、非多項式音速に対して正確な保存性を回復するための低ランク補正を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に非一様な音速に対して、要素固有の質量行列を保存せずにエネルギー安定性と高次精度を維持できるDG法を構築できるか？
• RQ2 重み付き$L^2$内積を重み調整内積に置き換えることで、安定性および収束性の性質が保たれるか？
• RQ3 WADG定式化において、精度や安定性を損なわずに積分次数をどの程度まで低減できるか？
• RQ4 WADG法における保存誤差の振る舞いはどのように変化するか？滑らかな解に対して超収束的になるか？
• RQ5 限られたメモリを有するGPUアーキテクチャにおいて、WADG法を効率的に実装できるか？

主な発見

• 滑らかな解に対して、WADG法は$L^2$ノルムで最適な$O(h^{N+1})$収束を達成し、標準DGと同等の性能を示す。
• $N=4$、$h=1/8$、$T=0.5$の条件下で、数値実験においてWADGと標準DGの解は視覚的に区別できない。
• 最適収束を達成するには積分次数$2N+1$で十分であり、これ以上の次数上昇は誤差に顕著な改善をもたらさない。
• 滑らかな音速に対して、WADG法の保存誤差は$O(h^{2N+2})$の超収束的レートを示し、保存性の高精度を示している。
• 数値実験の結果、WADGの$L^2$誤差は標準DGと同等またはわずかに優れており、特に高次において顕著である。
• 質量行列に対する低ランク補正により、非多項式音速に対しても正確な保存性を回復でき、物理的整合性を保持できる。