[論文レビュー] Weight Distribution of A p-ary Cyclic Code

Xiangyong Zeng, Lei Hu+3 more|ArXiv.org|Jan 16, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$ p $ および $ n/\gcd(n,k) $ が奇数であるという条件下で、$ p^n - 1 $ の長さをもつ $ p $-元巡回符号の完全な重み分布を決定する。この符号は、立方形式のトレース関数 $ \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ から構成される。指数和および $ \mathbb{F}_{p^n} $ 上の関連する二次形式のランクを用いて、すべての可能な重みの正確な周波数が導出され、奇数および偶数の $ \gcd(n,k) $ に対して符号の重み列挙子の完全な特徴付けがなされる。主な結果として、$ p $、$ n $、および $ d = \gcd(n,k) $ の関数として重み分布の閉形式表現が得られる。

ABSTRACT

For an odd prime $p$ and two positive integers $n\geq 3$ and $k$ with $\frac{n}{{ m gcd}(n,k)}$ being odd, the paper determines the weight distribution of a $p$-ary cyclic code $\mathcal{C}$ over $\mathbb{F}_{p}$ with nonzeros $α^{-1}$, $α^{-(p^k+1)}$ and $α^{-(p^{3k}+1)}$, where $α$ is a primitive element of $\mathbb{F}_{p^n}$

研究の動機と目的

• 長さ $ p^n - 1 $ の $ p $-元巡回符号の完全な重み分布を、$ \mathbb{F}_{p^n} $ の原始元 $ \alpha $ を用いて $ \alpha^{-1} $、$ \alpha^{-(p^k+1)} $、$ \alpha^{-(p^{3k}+1)} $ を非ゼロ要素として持つものとして決定すること。
• $ p $ が奇素数であり、$ n/\gcd(n,k) $ が奇数であるという条件下での重み分布を分析すること。
• 関連する符号のトレース関数と関連する二次形式クラスの指数和を評価し、そのランク分布を特定すること。
• 符号内のすべての可能な重みおよびその周波数を完全かつ明示的に列挙することにより、その誤り訂正特性を完全に特徴付けること。

提案手法

• 符号は、$ \mathbb{F}_{p^n}^* $ 上のトレース関数 $ \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ の像として定義され、$ \epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{p^n} $ によって符号語がインデックス付けされる。
• 各符号語の重みは、指数和 $ S(\epsilon, \gamma, \delta) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*} e^{2\pi i \cdot \mathrm{Tr}_1^n(\epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1})/p} $ のゼロの個数を数えることで決定される。
• 二次形式 $ \mathrm{Tr}_n^d(\gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ のランクは、線形多項式 $ L_{\gamma,\delta}(z) = \gamma z^{p^k} + \gamma^{p^{-k}} z^{p^{-k}} + \delta z^{p^{3k}} + \delta^{p^{-3k}} z^{p^{-3k}} = 0 $ の解の個数を用いて分析される。
• 指数和は、二次形式およびトレース関数の性質を用いて評価され、ガウス和および有限体上の指標和の理論からの主要な結果が用いられる。
• 重み分布は、関連する二次形式のランクに基づいて $ (\gamma, \delta) $ を三つの集合 $ R_0 $、$ R_1 $、$ R_2 $ に分類し、場合分けによる解析により導出される。
• 最終的な重み分布は、$ d = \gcd(n,k) $ が奇数および偶数の場合について、$ p $、$ n $、および $ d $ の関数として閉形式で表現され、各重みの符号語数の正確な数え上げが与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathbb{F}_{p^n} $ 上で $ \epsilon x + \gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1} $ のトレース関数から生成される $ p $-元巡回符号の完全な重み分布は何か？
• RQ2 二次形式 $ \mathrm{Tr}_n^d(\gamma x^{p^k+1} + \delta x^{p^{3k}+1}) $ のランクは、符号の重み分布にどのように影響するか？
• RQ3 各可能な重みの符号語の正確な周波数は何か？ そして、$ p $、$ n $、$ d = \gcd(n,k) $ にどのように依存するか？
• RQ4 指数和 $ S(\epsilon, \gamma, \delta) $ はトレース関数のゼロの個数とどのように関係し、指標和およびトレース恒等式を用いてどのように評価できるか？
• RQ5 $ p $ および $ n/\gcd(n,k) $ が奇数であるという条件が、重み分布の完全な分類を可能にする役割は何か？

主な発見

• すべての $ \epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{p^n} $ に対して符号の重み分布が完全に決定され、$ p $、$ n $、$ d = \gcd(n,k) $ の関数として各重みの正確な数え上げが与えられる。
• $ d $ が奇数の場合、重み 0 の符号語はちょうど1つであり、重み $ (p-1)p^{n-1} $ の符号語の数は $$(p^n - 1)\left(p^{2n-1} + (p-1)p^{2n-d-1} - p^{2n-2d} + (p-1)p^{2n-3d-1} + p^{n-1} - (p-1)p^{n-2d-1} + 1\right)$$ に等しい。
• 重み $ (p-1)p^{n-1} \pm p^{(n-1)/2} $ の符号語の数は、両方の符号に対して $$\frac{(p-1)(p^n - 1)(p^{n+2d} - p^{n+d} - p^n + p^{2d})(p^n - 1)}{2(p^{2d} - 1)}$$ に等しい。
• $ d $ が偶数の場合、重み分布は類似しているが、$ p $ の指数において $ n-1 $ を $ n-2 $ に、分母において $ d $ を $ 2d $ に置き換えることで、ランク構造のシフトが反映される。
• 重み $ (p-1)p^{n-1} \pm p^{(n+d-2)/2} $ の符号語の周波数は、$ (\gamma, \delta) $ のランククラスに応じて、$ p^{n-d-1} \pm (p-1)p^{n-d-2}/2 $ を含む形で与えられる。
• $ d = \gcd(n,k) $ が奇数および偶数の場合の両方について、完全な重み列挙子が明示的に導出され、すべての周波数が閉形式の代数的表現で与えられる。これにより、符号の重み分布における最適性が確認される。