[論文レビュー] Weight elimination in two dimensions when $p=2$

Xiyuan Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、[GLS14, GLS15]の結果を $ p = 2 $ の場合に拡張することで、ランク2のユニタリ群における mod 2 Galois表現の Serre予想の重み消去方向を完成させた。$ p > 2 $ に依存する既存の証明の制限を回避する新しい局所補題を用いて、mod 2 Galois表現が重み $ a $ に対してモジュラーであるならば、$ a $ は明示的に定義された集合 $ W^{\text{explicit}}(\overline{r}) $ に属することを確立した。

ABSTRACT

We prove the `weight elimination' part of the weight part of Serre's conjecture for mod 2 Galois representations for rank two unitary groups, by modifying the results in arXiv:1203.2552 and arXiv:1309.0527.

研究の動機と目的

• [GLS14, GLS15] の重み消去結果を $ p = 2 $ の場合に拡張すること。ここでは、従来の方法が $ p > 2 $ に依存していた。
• 既存の Serre 予想の重み部分の証明で用いられる $ p > 2 $ 条件を含む体拡張補題を、$ p > 2 $ の制限を除いて成立させる。
• $ p = 2 $ の下で、特定の数体の条件のもとで、Serre 重みの集合 $ W^{\text{explicit}}(\overline{r}) $ がすべてのモジュラー重みを捉えきることを確認すること。
• $ p = 2 $ において $ W^{\text{cris}}(\overline{\rho}) \subseteq W^{\text{explicit}}(\overline{\rho}) $ が成り立つことを確立し、グローバル結果に必要な局所比較を完成させること。

提案手法

• [Liu08] の $ p > 2 $ 依存の体拡張議論を置き換える、$ p = 2 $ に適合する新しい局所補題（補題 2.1）を証明する。
• Kisin モジュールとクリスタリン被覆の枠組みを用いて、クリスタリン被覆の Hodge-Tate 重みから生じる Serre 重みの集合 $ W^{\text{cris}}(\overline{\rho}) $ を定義する。
• $ B_{\text{dR}}^{+} $, $ A_{\text{cris}} $, および de Rham の周期環の理論を用いて、$ p = 2 $ における $ p $-進 Galois 表現の Hodge-Tate 構造を分析する。
• $ p $-進 Hodge 理論の道具立てを用い、$ p^n $ 乗根の単位根の整合的系の選択と、$ t = -\log([\uline{\epsilon}]) $ の定義を含む、$ W(R) $ 上のフィルトレーションを制御する。
• [BLGG13] のグローバルモジュラリティ議論を再検討し、[Tho17] の結果を用いて、補題 2.1.11 の証明が $ p = 2 $ においても成立することを検証する。
• $ p = 2 $ において、$ W^{\text{explicit}}(\overline{\rho}) $ が $ \overline{\rho}|_{I_K} $ のインertie 表現にのみ依存することを、[GLS15, Prop. 6.3.1] の修正版を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mod 2 Galois 表現の Serre 予想における重み消去方向を $ p = 2 $ の場合に拡張することは可能か？
• RQ2 $ p = 2 $ のとき、包含関係 $ W^{\text{cris}}(\overline{\rho}) \subseteq W^{\text{explicit}}(\overline{\rho}) $ は成立するか？
• RQ3 [GLS14, GLS15] で用いられた体拡張補題は $ p = 2 $ においても有効か？
• RQ4 $ 2 $-進自己モジュラリティ上昇定理が存在しない状況において、ランク2のユニタリ群のグローバルモジュラリティ結果を $ p = 2 $ で確立できるか？
• RQ5 $ p = 2 $ のとき、$ W^{\text{explicit}}(\overline{r}) $ は $ \overline{r}|_{I_K} $ のインナーレーション表現にのみ依存するか？

主な発見

• 論文は、$ p = 2 $ において $ W^{\text{cris}}(\overline{\rho}) \subseteq W^{\text{explicit}}(\overline{\rho}) $ が成り立つことを証明し、Serre 予想の重み部分に必要な局所比較を完成させた。
• 主なグローバル結果（定理 6.2）は、$ F/F^+ $ が有限場所で不分岐であり、$ F^+ $ の 2 上のすべての場所が $ F $ で分裂し、$ [F^+ : \mathbb{Q}] $ が偶数であるという条件下で、$ \overline{r} $ が重み $ a $ に対してモジュラーであるならば、$ a \in W^{\text{explicit}}(\overline{r}) $ であることを確認した。
• 論文は、$ p = 2 $ において $ W^{\text{explicit}}(\overline{\rho}) $ が $ \overline{\rho}|_{I_K} $ のみに依存することを、命題 5.5 で示した。
• [BLGG13, Lem. 2.1.11] の証明が $ p = 2 $ においても成立することが検証され、グローバル重み消去結果が $ p = 2 $ に拡張可能となった。
• 新たな局所補題（補題 2.1）は、$ p > 2 $ 依存の体拡張議論を効果的に置き換え、重み消去結果を $ p = 2 $ にまで拡張可能にした。
• 結果として、$ W^{\text{explicit}}(\overline{r}) \subseteq W(\overline{r}) \subseteq W^{\text{cris}}(\overline{r}) \subseteq W^{\text{explicit}}(\overline{r}) $ の包含関係の鎖が $ p = 2 $ で完成した。ただし、最初の包含関係は、$ 2 $-進自己モジュラリティ上昇定理の欠如により、未解決のまま残っている。