[論文レビュー] Weight Reduction for Quantum Codes

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、CSS安定化子コードの重み削減アルゴリズムを提示する。この手法は、高重量の安定化子生成子をO(1)の定数重量に変換しつつ、論理的キュービット数を維持する。反復的キュービット分割と安定化子分解を用い、物理的キュービット数の増加と距離の低下を制御可能な形で実現し、高次元多様体コードやバランスド距離強化への応用を可能にする強力なLDPCコードの構築を可能にする。

ABSTRACT

We present an algorithm that takes a CSS stabilizer code as input, and outputs another CSS stabilizer code such that the stabilizer generators all have weights $O(1)$ and such that $O(1)$ generators act on any given qubit. The number of logical qubits is unchanged by the procedure, while we give bounds on the increase in number of physical qubits and in the effect on distance and other code parameters, such as soundness (as a locally testable code) and "cosoundness" (defined later). Applications are discussed, including to codes from high-dimensional manifolds which have logarithmic weight stabilizers. Assuming a conjecture in geometry\cite{hdm}, this allows the construction of CSS stabilizer codes with generator weight $O(1)$ and almost linear distance. Another application of the construction is to increasing the distance to $X$ or $Z$ errors, whichever is smaller, so that the two distances are equal.

研究の動機と目的

• 高距離量子コードを実現しつつ、低重量安定化子生成子を有するという長年の課題に取り組む。
• 任意のCSS安定化子コードを、O(1)の生成子重みとキュービット参加度を有する強力なLDPCコードに変換する体系的プロシージャーを構築する。
• 物理的キュービット数の増加とコード距離の劣化を定量的に制限しつつ、論理キュービット数を維持する。
• 高次元多様体からの量子コードおよびバランスド距離コードへの応用を可能にする。

提案手法

• 反復的キュービット分割を適用：各キュービットは、X型安定化子で接続されたキュービットの鎖に置き換えられ、X型生成子におけるキュービット参加度を低減する。
• 高次数のキュービットに作用する各X型生成子に対して、キュービットと安定化子の線形鎖に置き換えることで、1キュービットあたりのX型生成子数を3以下に制限する。
• Z型安定化子は、分割されたキュービット上のZ演算子を対応する鎖上の積に置き換えることで修正され、重みは元のX型次数の最大で倍増する。
• 代替の分割法が導入され、1キュービットあたりのX型生成子参加度は3に保たれるが、Z型生成子重みは元のX型次数の倍数に増加する。
• X型とZ型の両方に反復的に適用することで、すべての安定化子生成子とキュービット参加度がO(1)に制限される。
• この手法は代数的トポロジーとホモロジー代数に裏打ちされており、チェーン複体と境界写像を用いて重みと可換性の性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高重量安定化子を有するCSS安定化子コードを、O(1)の生成子重みとO(1)のキュービット参加度に変換しても、論理的情報を失わずに行えるか？
• RQ2 安定化子重みを低減する際、物理的キュービット数とコード距離のトレードオフはどのようなものか？
• RQ3 この変換は、高次元多様体から得られるコードに適用可能であり、定数重量生成子を有するほぼ線形距離のコードを実現できるか？
• RQ4 局所的にテスト可能なコードとしてのコードの健全性（soundness）および余健全性（cosoundness）パrameterに、この手続きはどのように影響を与えるか？
• RQ5 この重み低減フレームワークを用いて、XおよびZ距離をバランスさせることは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、すべての安定化子生成子がO(1)の重みで、各キュービットが高々O(1)の生成子に参加する新しいCSSコードを生成するが、論理キュービット数は維持される。
• 物理的キュービット数の増加は、元のコードの最大生成子重みおよび次数に多項式的に依存し、削減の順序に依存する。
• コード距離は低下する可能性があるが、その低下は元のコードのパrameter（例：d_X および d_Z）に基づいて、制御可能かつ有界である。
• 高次元多様体からのコードに適用した場合（幾何的予想を仮定すると）、O(1)の生成子重みと距離Θ(N^{1−ε})（任意のε > 0）のコードが得られる。
• この手法により、XおよびZ距離をバランス化でき、小さい方の距離を大きい方に合わせることで、非対称誤りに対してより強い耐性を持つコードが得られる。
• この手続きは、サブシステム重み低減とは異なり、安定化子コード構造を維持し、サブシステムコードを生成しない。