[論文レビュー] Weighted Efficient Domination in Classes of $P_6$-free Graphs

Andreas Brandstädt, T. Karthick|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$P_6$-freeグラフの2つの部分クラス、$(P_6, S_{1,1,3})$-freeおよび$(P_6, \text{bull})$-freeグラフにおける最小および最大重み効率的支配集合問題の多項式時間アルゴリズムを確立する。それぞれのグラフにおいて、その平方が$P_5$-freeまたは(hole,banner)-freeであることを示し、これらのクラスにおける最大重み独立集合問題の既知の多項式時間解法を活用することで、$P_5$-freeグラフを超えて効率的支配問題の多項式時間解法を拡張する。

ABSTRACT

In a graph $G$, an efficient dominating set is a subset $D$ of vertices such that $D$ is an independent set and each vertex outside $D$ has exactly one neighbor in $D$. The Minimum Weight Efficient Dominating Set (Min-WED) problem asks for an efficient dominating set of total minimum weight in a given vertex-weighted graph; the Maximum Weight Efficient Dominating Set (Max-WED) problem is defined similarly. The Min-WED/Max-WED is known to be $NP$-complete for $P_7$-free graphs, and is known to be polynomial time solvable for $P_5$-free graphs. However, the computational complexity of the Min-WED/Max-WED problem is unknown for $P_6$-free graphs. In this paper, we show that the Min-WED/Max-WED problem can be solved in polynomial time for two subclasses of $P_6$-free graphs, namely for ($P_6,S_{1,1,3}$)-free graphs, and for ($P_6$, bull)-free graphs.

研究の動機と目的

• $P_6$-freeグラフにおける最小および最大重み効率的支配集合問題（Min-WED/Max-WED）の未解決な計算量的性質を解明すること。
• $P_5$-freeグラフを超えて、特定の$P_6$-free部分クラスにおいてMin-WED/Max-WEDの多項式時間解法を拡張すること。
• 効率的支配集合をもつ$(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフの平方が$P_5$-freeであることを示すこと。
• 効率的支配集合をもつ$(P_6, \text{bull})$-freeグラフの平方が(hole,banner)-freeであることを証明すること。
• $P_5$-freeおよび(hole,banner)-freeグラフにおける最大重み独立集合問題（MWIS）の既知の多項式時間アルゴリズムを活用し、目的のクラスにおけるMin-WED/Max-WEDを解くこと。

提案手法

• 入力グラフ$G^2$上の最大重み独立集合（MWIS）問題にMin-WED/Max-WED問題を還元する。
• 効率的支配集合をもつ$(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフに対して、$G^2$が$P_5$-freeであることを証明し、$P_5$-free MWISアルゴリズムの適用を可能にする。
• 効率的支配集合をもつ$(P_6, \text{bull})$-freeグラフに対して、$G^2$が(hole,banner)-freeであることを示し、(hole,banner)-free MWISアルゴリズムの適用を可能にする。
• 既存の研究における定理1を適用する。この定理は、MWISが$G^2$上で時間$T(|G^2|)$で解ける場合、Min-WED/Max-WEDは時間$O(\min\{nm+n,n^{\mu}\} + T(|G^2|))$で解けると述べている。
• 構造的グラフ理論を用いて、素性(hole,banner)-freeグラフの原子がほとんど弦的であることを示し、既知のMWIS結果の適用を可能にする。
• 素性グラフおよびほぼ-$\mathcal{C}$グラフに関する定理を用い、MWISの解法可能性を素性グラフから一般の(hole,banner)-freeグラフへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフにおいて、Min-WED/Max-WED問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 $(P_6, \text{bull})$-freeグラフにおいて、Min-WED/Max-WED問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 効率的支配集合をもつ$(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフの平方が$P_5$-freeであることを示せるか？
• RQ4 効率的支配集合をもつ$(P_6, \text{bull})$-freeグラフの平方が(hole,banner)-freeであることを示せるか？
• RQ5 $G^2$上のMWISへの還元が、これらのクラスにおけるMin-WED/Max-WEDの多項式時間アルゴリズムをもたらすか？

主な発見

• $(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフにおいて、Min-WED/Max-WED問題は多項式時間で解ける。時間計算量は$O(n^{2}m)$である。
• $(P_6, \text{bull})$-freeグラフにおいて、Min-WED/Max-WED問題は多項式時間で解ける。時間計算量は$O(n^{2}m)$である。
• 任意の効率的支配集合をもつ$(P_6, S_{1,1,3})$-freeグラフ$G$に対して、その平方$G^2$は$P_5$-freeである。
• 任意の効率的支配集合をもつ$(P_6, \text{bull})$-freeグラフ$G$に対して、その平方$G^2$は(hole,banner)-freeである。
• (hole,banner)-freeグラフにおける最大重み独立集合問題（MWIS）は、時間$O(n^{2}m)$で解ける。これにより、同じ時間内にMin-WED/Max-WEDが解ける。
• 証明により、素性(hole,banner)-freeグラフのすべての原子がほとんど弦的であることが示され、素性グラフおよび原子に関する既知の定理を介してMWIS結果の裏付けが得られる。