[論文レビュー] Weighted local Hardy spaces associated to Schrödinger operators

Hua Zhu, Lin Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、臨界半径関数 $\rho$ と重み $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$ を用いてシュレーディンガー作用素に関連する重み付き局所ハーデイ空間 $h^p_{\rho}(\omega)$ を導入し、そのアトム分解、最大関数による特徴づけ、および擬バナッハ空間値の部分線形作用素の有界性を確立する。主な貢献は、$\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に $h^1_{\rho}(\omega)$ と重み付きハーデイ空間 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ が等価であることを証明し、既存理論における空白を埋めることにある。

ABSTRACT

In this paper, we characterize the weighted local Hardy spaces $h^p_ρ(ω)$ related to the critical radius function $ρ$ and weights $ω\in A_{\infty}^{ρ,\,\infty}(\mathbb{R}^{n})$ which locally behave as Muckenhoupt's weights and actually include them, by the local vertical maximal function, the local nontangential maximal function and the atomic decomposition. By the atomic characterization, we also prove the existence of finite atomic decompositions associated with $h^{p}_ρ(ω)$. Furthermore, we establish boundedness in $h^p_ρ(ω)$ of quasi- Banach-valued sublinear operators. As their applications, we establish the equivalence of the weighted local Hardy space $h^1_ρ(ω)$ and the weighted Hardy space $H^1_{\cal L}(ω)$ associated to Schrödinger operators $\cal L$ with $ω\in A_1^{ρ,\infty}(\mathbb{R}^{n})$

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素に関連する重み付き局所ハーデイ空間 $h^p_{\rho,N}(\omega)$ を臨界半径関数 $\rho$ と重み $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$ を用いて定義し、局所化された最大準ノルムの下での試験関数の完備化として導入する。
• 局所垂直および非接続最大関数を用いた $h^p_{\rho,N}(\omega)$ の特徴づけを、局所カルデロン再生公式と Rychkov [23] の推定を用いて確立する。
• 重み付き局所設定におけるグランド最大関数に適したカルデロン＝ジグムント分解を構築する。
• $h^{p,q,s}_{\rho}(\omega)$ が $h^p_{\rho,N}(\omega)$ と同値なノルムを持つことを証明し、[17, 6] とは異なるが [1, 28, 36] と整合する方法を用いる。
• 有限アトムハーデイ空間 $h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)$ を定義し、$q < \infty$ の場合にその準ノルム $\|\cdot\|_{h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)}$ が $\|\cdot\|_{h^p_{\rho}(\omega)}$ と同値であることを証明する。これにより、有限アトム分解が可能になる。
• アトム特徴づけを応用し、$\mathcal{B}_\beta$-部分線形作用素の有界性を証明するとともに、$\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に $h^1_{\rho}(\omega) = H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ が成り立つことを確立する。

提案手法

• 局所グランド最大関数を用いて重み付き局所ハーデイ空間 $h^p_{\rho,N}(\omega)$ を定義し、局所化された最大準ノルムの下での試験関数の完備化として導入する。
• 局所カルデロン再生公式と Rychkov [23] の推定を用いて、局所垂直および非接続最大関数を用いた $h^p_{\rho,N}(\omega)$ の特徴づけを確立する。
• 重み付き局所設定におけるグランド最大関数に適したカルデロン＝ジグムント分解を構築する。
• アトムハーデイ空間 $h^{p,q,s}_{\rho}(\omega)$ が $h^p_{\rho,N}(\omega)$ と同値なノルムを持つことを証明し、[17, 6] とは異なるが [1, 28, 36] と整合する手法を用いる。
• 有限アトムハーデイ空間 $h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)$ を定義し、$q < \infty$ の場合にその準ノルム $\|\cdot\|_{h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)}$ が $\|\cdot\|_{h^p_{\rho}(\omega)}$ と同値であることを証明する。これにより、有限アトム分解が可能になる。
• アトム特徴づけを応用し、$\mathcal{B}_\beta$-部分線形作用素の有効性を証明するとともに、$\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に $h^1_{\rho}(\omega) = H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ が成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $\omega \in A^\rho_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に、重み付き局所ハーデイ空間 $h^p_{\rho}(\omega)$ はアトム分解、局所垂直最大関数、非接続最大関数によって特徴づけられるか？
• RQ2 $q < \infty$ の場合に、$h^p_{\rho}(\omega)$ に有限アトム分解が存在するか？
• RQ3 擬バナッハ空間値の部分線形作用素は $h^p_{\rho}(\omega)$ 上で有界か？
• RQ4 $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に、重み付き局所ハーデイ空間 $h^1_{\rho}(\omega)$ はシュレーディンガー作用素に関連する重み付きハーデイ空間 $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ と同値か？

主な発見

• 重み $\omega \in A^\rho_{q,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に、重み付き局所ハーデイ空間 $h^p_{\rho}(\omega)$ は局所垂直最大関数、局所非接続最大関数、およびアトム分解によって同値な特徴づけを持つ。
• 有限アトム分解は $h^p_{\rho}(\omega)$ に存在し、$q < \infty$ の場合に準ノルム $\|\cdot\|_{h^{p,q,s}_{\rho,\text{fin}}(\omega)}$ は $\|\cdot\|_{h^p_{\rho}(\omega)}$ と同値である。
• 擬バナッハ空間値の部分線形作用素は $h^p_{\rho}(\omega)$ 上で有界であり、Meda-Sjögren-Vallarino [21] および Yang-Zhou [38] の結果を重み付き局所設定に拡張する。
• $\omega \in A^\rho_{1,\infty}(\mathbb{R}^n)$ の場合に、空間 $h^1_{\rho}(\omega)$ と $H^1_{\mathcal{L}}(\omega)$ は同値であり、同値なノルムを持つ。
• 同値性の証明は、$h^1_{\rho}(\omega)$ のアトム特徴づけに依存しており、$A^\rho_{1,\infty}$ 重みの性質上、[10, 11] の直接的手法は失敗する。
• $\mathcal{T}^*$ が $h^1_{\rho}(\omega)$ から $L^1_\omega(\mathbb{R}^n)$ への有界性は、$1 < q \leq 1 + \delta/n$ の $(1,q,s)_\omega$-アトムすべてに対して $\|\mathcal{T}^*(a)\|_{L^1_\omega} \lesssim 1$ を満たすことを確認することで確立される。重み付き推定およびカーネルの減衰性質を用いる。