[論文レビュー] Weighted sub-laplacians on metivier groups: Essential self-adjointness and spectrum

Calzi, M.|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Métivier群上の重み付きサブラプラシアン $L_{w_\alpha}$ が $\alpha \geq 1$ に対して本質的に自己共役であることを確立し、$N$ をKaplanノルムとするとき $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ であれば $L_{w_\alpha}$ のスペクトルを完全に特徴づける。スペクトルが純粋に離散的であるのはかつて $\alpha > 2$ のときに限るという、J. Inglisの予想を証明する。解析は、ユニタリ同値性によるシュレーディンガー作用素への変換と、部分集合の減少に関する一般化されたSimonの基準に基づく。

ABSTRACT

Let $G$ be a M\'etivier group and let $N$ be any homogeneous norm on $G$. For $\alpha>0$ denote by $w_\alpha$ the function $e^{-N^\alpha}$ and consider the weighted sub-Laplacian $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ associated with the Dirichlet form $\phi \mapsto \int_{G} | abla_\mathcal{H}\phi(y)|^2 w_\alpha(y)\, dy$, where $ abla_\mathcal{H}$ is the horizontal gradient on $G$. Consider $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ with domain $C_c^\infty$. We prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ is essentially self-adjoint when $\alpha \geq 1$. For a particular $N$, which is the norm appearing in $\mathcal{L}$'s fundamental solution when $G$ is an H-type group, we prove that $\mathcal{L}^{w_\alpha}$ has purely discrete spectrum if and only if $\alpha>2$, thus proving a conjecture of J. Inglis.

研究の動機と目的

• 重み付きサブラプラシアン $L_{w_\alpha}$ が $\alpha \geq 1$ のとき、Métivier群上で本質的に自己共役であることを確立すること。
• Kaplanノルム $N$ に対して、J. Inglisが提起した $L_{w_\alpha}$ のスペクトルに関する予想を解決すること。
• Métivier群上で $L_{w_\alpha}$ が純粋に離散的スペクトルを持つような $\alpha > 0$ の正確な範囲を特徴づけること。
• ポテンシャル論的手法を用いて、$0 < \alpha \leq 2$ の場合の非離散性を直接証明すること。

提案手法

• 重み $w$ 及びその水平微分の可積分性と有界性に基づく、$L_w$ の本質的自己共役性に関する一般基準を確立すること。
• ユニタリ同値性を用いて、$L_{w_\alpha}$ を $L^2(G, dy)$ 上のシュレーディンガー作用素 $L + V_\alpha$ に変換すること、ここで $V_\alpha = -\frac{1}{4}\frac{|\nabla_H w_\alpha|^2}{w_\alpha^2} - \frac{1}{2}\frac{L w_\alpha}{w_\alpha}$ である。
• シュレーディンガー作用素のスペクトル離散性に関するB. Simonの定理の一般化版を、ポテンシャル $V_\alpha$ に適用すること。
• 部分集合の減少に関する分析により、$\Omega_{\alpha,M} = \{(x,t) \in G : V_\alpha(x,t) \leq M\}$ の測度を評価し、スペクトルの離散性の必要十分条件である多項式的薄さを特定すること。
• 準距離の推定とシリンダの包含関係を用いて、$|t|$ が大きいときの $\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)$ の測度を評価し、$\alpha > 2$ のとき $|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$ を示すこと。
• $V_\alpha$ が $G^*$ 上で下から有界かつ連続であることの証明により、$\alpha > 2$ のとき $L_{w_\alpha}$ の一意な自己共共役拡張が存在することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $w_\alpha = e^{-N^\alpha}$ で定義されるMétivier群上の $C_c^\infty(G)$ 上の重み付きサブラプラシアン $L_{w_\alpha}$ が本質的に自己共役であるような $\alpha > 0$ はどれか？
• RQ2 Kaplanノルム $N$ を用いたとき、$\alpha > 2$ であれば $L_{w_\alpha}$ のスペクトルは純粋に離散的になるか？
• RQ3 Kaplanノルム $N$ を用いたとき、$0 < \alpha \leq 2$ であれば $L_{w_\alpha}$ のスペクトルは非離散的か？
• RQ4 シュレーディンガー作用素の定式化におけるポテンシャル $V_\alpha$ の部分集合の減少を用いて、スペクトルの離散性を特徴づけられるか？

主な発見

• すべての $\alpha \geq 1$ に対して、重み付きサブラプラシアン $L_{w_\alpha}$ は $C_c^\infty(G)$ 上で本質的に自己共役である。
• Kaplanノルム $N$ を用いたとき、$L_{w_\alpha}$ のスペクトルが純粋に離散的であるのはかつて $\alpha > 2$ のときであり、Inglisの予想を確認する。
• $0 < \alpha \leq 2$ のとき、$L_{w_\alpha}$ の任意の自己共役拡張は純粋に離散的スペクトルを持たない。これは非コンパクトなリゾルベントによって示される。
• 重み付きサブラプラシアン $L_{w_\alpha}$ に関連するポテンシャル $V_\alpha$ は、$|\Omega_{\alpha,M} \cap B((x,t), r)| \lesssim |t|^{n(2-\alpha)}$ を満たし、これは $\alpha > 2$ のときのみ多項式的薄さを意味する。
• $\alpha > 2$ のとき、$L_{w_\alpha}$ の一意な自己共役拡張は純粋に離散的スペクトルを持ち、関連する半群 $e^{-tL_{w_\alpha}}$ はすべての $t > 0$ および $1 < p < \infty$ に対して $L^p(w_\alpha)$ 上でコンパクトである。
• $\alpha > 2$ のとき、$L^p(w_\alpha)$ 上の $L_{w_\alpha}$ のスペクトルは $p$ に依存せず、$1 < p < \infty$ のすべての $p$ に対して同一である。