[論文レビュー] Well-conditioned multiproduct Hamiltonian simulation

Guang Hao Low, Vadym Kliuchnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンシミュレーションのための良好に条件付けられたマルチプロダクト公式を導入し、プロダクト公式とLCU手法の利点を統合する。低次のプロダクト公式の線形結合を用いることで、多項式コストの量子ステップと確率Ω(1/log²m)を達成し、誤差εに対してO(t log²(t/ε))の最適な最悪ケースゲートコスト（対数要因を除いて）を実現する。これにより、長年の条件付け問題が解決され、高次の公式では指数的誤差拡大と消失する成功確率が生じる問題が解消される。

ABSTRACT

Product formula approximations of the time-evolution operator on quantum computers are of great interest due to their simplicity, and good scaling with system size by exploiting commutativity between Hamiltonian terms. However, product formulas exhibit poor scaling with the time $t$ and error $ε$ of simulation as the gate cost of a single step scales exponentially with the order $m$ of accuracy. We introduce well-conditioned multiproduct formulas, which are a linear combination of product formulas, where a single step has polynomial cost $\mathcal{O}(m^2\log{(m)})$ and succeeds with probability $Ω(1/\operatorname{log}^2{(m)})$. Our multiproduct formulas imply a simple and generic simulation algorithm that simultaneously exploits commutativity in arbitrary systems and has a worst-case cost $\mathcal{O}(t\log^{2}{(t/ε)})$ which is optimal up to poly-logarithmic factors. In contrast, prior Trotter and post-Trotter Hamiltonian simulation algorithms realize only one of these two desirable features. A key technical result of independent interest is our solution to a conditioning problem in previous multiproduct formulas that amplified numerical errors by $e^{Ω(m)}$ in the classical setting, and led to a vanishing success probability $e^{-Ω(m)}$ in the quantum setting.

研究の動機と目的

• 量子ハミルトニアンシミュレーションにおける高次プロダクト公式の指数的ゲートコストと悪化するスケーリングを解消すること。
• 不良に条件付けられたため、従来のマルチプロダクト公式では数値的不安定性と指数的に小さい成功確率が生じる問題を克服すること。
• 局所的系における可換性を同時に活用し、時間および誤差に対して近似的最適なスケーリングを達成する量子アルゴリズムを開発すること。
• 構成的証明を用いて、多項式的クエリコストと頑健な成功確率を持つ良好に条件付けられたマルチプロダクト公式を構築すること。

提案手法

• 対称的2次プロダクト公式の線形結合として、係数a_jと指数k_jでパrameter化されたマルチプロダクト公式を提案する。
• 構成的証明を用いて、任意の次数2mの良好に条件付けられたマルチプロダクト公式が存在することを示し、係数および指数が対数的サイズであることを示す。
• 成功確率Ω(1/log²m)を達成するために、ロバストな無作為アモニフィケーションを用いてマルチプロダクト公式を実装する。
• プログラマブルな回転を用いた量子回路を設計し、クエリコストを||k||_1からmax_j k_jに削減することで、効率的な実装を可能にする。
• mとオーバーヘッドO(m² log²m)のバランスを最適化することで、最悪ケースコストをO(t log²(t/ε))に抑える。
• 指数的精度を要しない項のキャンセルを保証することで、条件付け問題を解消し、e^Ω(m)の誤差拡大を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチプロダクト公式は、その量子実装において多項式的コストと消えない成功確率を持つように構築可能か？
• RQ2 高次のマルチプロダクト公式における条件付け問題は、指数的誤差拡大と消失する成功確率を防ぐために解消可能か？
• RQ3 局所的系における可換性を活用し、時間と誤差に対して最適なスケーリングを同時に達成することは可能か？
• RQ4 マルチプロダクト公式のゲートコストをO(t log²(t/ε))にまで低減し、精度を維持することは可能か？

主な発見

• 提案された良好に条件付けられたマルチプロダクト公式は、最悪ケースゲートコストO(t log²(t/ε))を達成し、多項式的要因を除いて最適である。
• マルチプロダクト公式の1ステップのコストはO(m² log m)であり、確率Ω(1/log²m)で成功する。これは効率的に増幅可能である。
• 従来の量子実装ではe^Ω(m)の誤差拡大と成功確率e^−Ω(m)が生じていた条件付け問題が、本手法により解決された。
• 従来の手法がこれらの特徴のうち片方しか達成できなかったのに対し、本手法は局所的系における可換性を同時に活用し、時間および誤差に対して近似的最適なスケーリングを達成する。
• 次数15までの明示的構成が提供されており、係数および指数は対数的サイズであるため、数値的安定性が保証される。
• プログラマブルな回転を用いた回路最適化により、クエリコストが||k||_1からmax_j k_jに削減され、クエリ複雑度において対数未満の改善が得られた。