[論文レビュー] Well-posedness and asymptotic behavior for stochastic reaction-diffusion equations with multiplicative Poisson noise

Carlo Marinelli, Michael Röckner|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L_p$ 空間における確率的畳み込みの新しい最大不等式を用いて、乗法的ポアソンノイズを伴う確率的反応拡散方程式の弱い意味での適切性を確立する。弱いおよび強い散乱性条件の下で不変測度の存在および一意性を証明し、多項式成長・準単調非線形性を有するジャンプ拡散確率偏微分方程式（SPDE）における適切性およびエルゴード性の結果を拡張する。

ABSTRACT

We establish well-posedness in the mild sense for a class of stochastic semilinear evolution equations with a polynomially growing quasi-monotone nonlinearity and multiplicative Poisson noise. We also study existence and uniqueness of invariant measures for the associated semigroup in the Markovian case. A key role is played by a new maximal inequality for stochastic convolutions in $L_p$ spaces.

研究の動機と目的

• 乗法的ポアソンノイズおよび多項式成長・準単調非線形性を有する半線形SPDEの弱い意味での適切性を確立すること。
• 弱いおよび強い散乱性仮定の下で、関連するマルコフ過程の不変測度の存在および一意性を調べること。
• ノイズ係数 $G$ に対して自然な可積分性および連続性条件を仮定するだけでよい、一般化された弱い解の概念を導入すること。
• 係数 $A+F$ に対する強収縮性および連続性条件を必要としないように、変分的枠組みを超えて理論を拡張すること。
• 加法的ノイズや強い散乱性が存在しない状況においても、従来の手法よりもより透明で検証可能な、ジャンプノイズを伴うSPDEのための枠組みを提供すること。

提案手法

• $L_p$ 空間における確率的畳み込みの新しい最大不等式を導出し、存在および一意性の証明の主要な道具として用いる。
• $G$ に対する局所リプシッツ条件を回避するため、$G$ に対する最小限の仮定の下で乗法的ジャンプノイズを有するSPDEを扱うために、一般化された弱い解の概念を導入する。
• 単調性推定と新しい最大不等式を組み合わせて、多項式成長・準単調性しか満たさない非線形駆動項 $F(u)$ を制御する。
• 弱い散乱性の下で不変測度の存在を示すために、クリョフ＝ボゴリューボフの定理を適用し、強い散乱性の下で一意性を示すために古典的手法を適応する。
• 解のコンパクト性を時間平均測度の緊密性と $L_2(D)$ における弱収束を用いて示す。ここで、$ abla$ の球が $L_2(D)$ でコンパクトであることに依存する。
• 解の関数空間への残留を保証するため、リゾルベント作用素とエネルギー型の境界を用いて、$L_2(\Omega \times [0,t], D(\mathcal{E}))$ 内の事前推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ポアソンノイズを伴う確率的反応拡散方程式が、$L_2(D)$ で一意的な弱い解を有するための条件は何か？
• RQ2 非線形駆動項 $F$ に対して強い散乱性や収縮性を仮定しないで、不変測度の存在および一意性を確立できるか？
• RQ3 $A+F$ が標準的な連続性および収縮性条件を満たさない場合、ジャンプノイズを伴うSPDEの解理論を変分的枠組みを超えてどのように拡張できるか？
• RQ4 $L_p$ 空間における確率的畳み込みの新しい最大不等式が、乗法的ジャンプノイズを伴うSPDEの適切性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 一般化された弱い解の概念を用いて、$G$ が自然な可積分性および連続性仮定のみを満たすSPDEを扱えるか？

主な発見

• 乗法的ポアソンノイズ、多項式成長・準単調非線形性、および $G$ が可積分性および連続性条件のみを満たす場合のSPDEについて、弱い意味での適切性が確立された。
• 確率的畳み込みの新しい最大不等式が $L_p$ 空間で導出され、ジャンプノイズ項の制御に中心的な技術的道具として用いられた。
• 弱い散乱性の下で、時間平均測度の緊密性を用いて $L_2(D)$ で不変測度の存在が証明された。
• 強い散乱性の下で、古典的手法を用いて不変測度の一意性が確立され、エルゴード性の結果がジャンプ拡散系に拡張された。
• 解が $ abla\mathbb{E}\int_0^t \mathcal{E}_1(u(s),u(s))\,ds \lesssim 1+t$ を満たすことが示され、時間経過に伴うエネルギー成長が制御されていることが示された。
• この枠組みは、加法的ウィーナーノイズや時間／確率的依存係数を含める一般化に対しても、最小限の修正で適用可能である。