[論文レビュー] Well-posedness and large deviation for degenerate SDEs with Sobolev coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Sobolev型の漂流項と拡散係数をもつ退化する確率的微分方程式（SDE）の適切な定義を確立し、DiPerna-Lions理論をSDEの文脈に拡張する。さらに、弱収束法と指数関数的汎関数の変分表現を用いて、このようなSDEに対してFreidlin-Wentzellの大偏差原理を証明する。

ABSTRACT

In this article we prove the existence and uniqueness for degenerate stochastic differential equations with Sobolev (possibly singular) drift and diffusion coefficients in a generalized sense. In particular, our result covers the classical DiPerna-Lions flows and, we also obtain the well-posedness for degenerate Fokker-Planck equations with irregular coefficients. Moreover, a large deviation principle of Freidlin-Wenzell type for this type of SDEs is established.

研究の動機と目的

• 漂流項と拡散係数が不規則または不連続であっても、退化SDEの解の存在と一意性を確立すること。
• Sobolevベクトル場をもつ常微分方程式（ODE）に関するDiPerna-Lions理論を、伊藤型およびストラトノビッチ型SDEの確率的設定に一般化すること。
• 不規則な係数をもつ退化SDEに対して、Freidlin-Wentzell型の大偏差原理（LDP）を証明することにより、古典的LDP結果を退化的・特異的状況に拡張すること。
• 一般化された確率的フローの概念を通じて、不規則な係数をもつ退化SDEとFokker-Planck方程式の取り扱いを統一すること。
• 漂流項の発散において多項式的成長を示す場合や係数が$W^{1,1}_{\text{loc}}$に属する場合にも、適切な定義とLDPの結果を拡張すること。

提案手法

• 不規則な係数をもつSDEの解を定義するために、$\mu$-ほとんど everywhere の確率的フローの一般化された概念を用いる。
• DupuisとEllisの弱収束法を用いて大偏差原理を証明し、指数関数的汎関数の変分表現に依存する。
• ブラウン運動の線形化技術を用いて、一般化された意味でODEとSDEの解を結びつける。
• Crippa-De Lellisのアプローチを用い、Hardy-Littlewood最大関数を通じて漂流項および拡散係数のSobolev正則性を扱う。
• $\varepsilon$-正則化過程を用いた摂動論法を実施し、近似解の列$X^{\varepsilon}$を構築し、確率的に$X^h$に収束することを示す。
• Skorokhodの表現定理を適用して、弱収束する制御を新しい確率空間上でほとんど確実収束に引き上げ、LDPの証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W^{1,1}_{\text{loc}}$の漂流項と拡散係数をもつ退化SDEに対して、解の存在と一意性を保証できるか、特に係数が不連続であっても成立するか。
• RQ2 Sobolev係数をもつ場合や拡散が退化する場合に、ODEにおけるDiPerna-Lions理論が確率的設定に拡張可能か。
• RQ3 不規則な係数をもつ退化SDEに対して、Freidlin-Wentzellの大偏差原理を証明できるか、特に拡散が一様に非退化でない場合にも成立するか。
• RQ4 SDEの手法を用いて、不規則な係数をもつ退化Fokker-Planck方程式の適切な定義をどのように確立できるか。
• RQ5 $\mu$-ほとんど everywhere の確率的フローの概念が、不規則な係数の取り扱いや近似における安定性の保証に果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿では、$b \in W^{1,1}_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d)$および$\sigma \in W^{1,p}_{\text{loc}}$（$p>1$）を満たす退化SDEに対して、$\mu$-ほとんど everywhere の確率的フローの存在と一意性を証明する。$\sigma$が不連続であっても成立する。
• 適切な定義の結果は、古典的DiPerna-Lions理論をSDE設定に拡張し、漂流項の発散における多項式的成長を含む場合もカバーする。
• 弱収束法と指数関数的汎関数の変分表現を用いて、このようなSDEに対してFreidlin-Wentzellの大偏差原理を確立する。
• 部分列の議論とSkorokhodの定理を用いて、$X^{\varepsilon}$が$X^h$に確率的に収束することを示し、LDPの証明を可能にする。
• 証明は、$L^p$-ノルムにおける一様推定と、正則化されたテスト関数$\xi$の勾配およびヘッセ行列に関する境界に依存し、定数は$\delta \to 0$のとき減少する。
• 摂動過程の収束を示すために、鍵となる推定式$\mathbb{E} \int_{B_N \cap G_R^\varepsilon} \sup_t |I_3^\varepsilon(t,x)| \mu(dx) \leq C(\varepsilon)/\delta^3$（$C(\varepsilon) \to 0$ as $\varepsilon \to 0$）が有効に機能する。