[論文レビュー] Weyl groups of Hamiltonian manifolds, I

Friedrich Knop|ArXiv.org|Dec 20, 1997

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、コン pact なハミルトニアン $K$-多様体 $M$ に関連する有限反射群 $W_M$ を導入し、すべての $K$-不変関数とポアソン可換する関数の代数 — すなわち $\mathrm{Col}(M)$ — が、商空間 $Y$ 上の滑らか関数の引き戻しとして正確に表されることを示している。空間 $Y$ は、moment map の像 $\mu(M)$ と群 $W_M$ から構成され、$W_M$ は関数のテイラー級数における対称性制約を通じて $Y$ の微分構造を記述する。この結果は、シンプレクティック双対性における微妙な問題を解消し、グイリム＝シュテルンバーグ予想を洗練された幾何的形で拡張する。

ABSTRACT

We consider a connected compact Lie group K acting on a symplectic manifold M such that a moment map m exists. A pull-back function via m Poisson commutes with all K-invariants. Guillemin-Sternberg raised the problem to find a converse. In this paper, we solve this problem by determining the Poisson commutant of the algebra of K-invariants. It is completely controlled by the image of m and a certain subquotient W_M of the Weyl group of K. The group W_M is also a reflection group and forms a symplectic analogue of the little Weyl group of a symmetric space. The proof rests ultimately on techniques from algebraic geometry. In fact, a major part of the paper is of independent interest: it establishes connectivity and reducedness properties of the fibers of the (complex algebraic) moment map of a complex cotangent bundle.

研究の動機と目的

• コンパクトなハミルトニアン $K$-多様体 $M$ 上の滑らか関数の代数 $\mathrm{Col}(M)$ を、すべての $K$-不変関数とポアソン可換するものとして特定すること。
• トポロジカルかつ微分的構造を持つ商多様体 $Y$ を構成し、$\mathrm{Col}(M)$ が写像 $\widehat{\mu}: M \to Y$ を通じて $Y$ 上の滑らか関数の引き戻しとして正確に表されることを示すこと。
• $Y$ 上の微分構造が、$K$ のワイル群の部分商である有限反射群 $W_M$ によって支配されることを示し、$Y$ 上の関数のテイラー級数の対称性を制御すること。
• $\nu: Y \to \mu(M) \subset \mathfrak{k}^*$ がホメオモーティズムであり、$\mathrm{Col}(M)$ が $\mu^* C^0(\mathfrak{k}^*)$ と $C^\infty(M)$ の共通部分であることを確立することで、グイリム＝シュテルンバーグ予想の洗練された形を確認すること。

提案手法

• 問題を局所化するため、『凸ハミルトニアン多様体』の概念を導入し、moment map の纤维の連結性と凸性により、局所的性質が十分であることを保証する。
• シンプレクティックスライス定理を適用して、実代数的ハミルトニアン $K$-多様体 $\overline{M}$ の点の近傍に問題を還元し、代数的解析が可能になるようにする。
• トゥーゲロンおよびバーストーン＝ミルマンの強力な結果を用いて、$Y$ 上の微分可能関数とそのテイラー級数の関係を確立し、問題をべき級数上の代数的条件に還元する。
• 実代数的多様体 $\overline{M}$ を複素化して、$K$ の複素化 $G$ による複素 $G$-代数的多様体 $X$ を得る。その後、$T^*_X$ のコタングェントバンドルを分析し、$G$-不変関数を研究する。
• $\overline{M}$ の複素化が $T^*_X$ に一致することを証明し、$G$-不変関数とポアソン可換する正則関数の既知の結果を用いて、$\mathrm{Col}(M)$ を特徴付ける。
• グイリム＝シュテルンバーグのクロスセクション定理を用いて、ハミルトニアン多様体の局所構造定理を確立し、等性的軌道の近傍が三つ組 $(H, S, u_0)$ で決定されることを示す。ここで $H = K_x$、$S$ はシンプレクティックスライス、$u_0 = \mu(x)$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなハミルトニアン $K$-多様体 $M$ 上の $K$-不変関数のポアソン中心化子 $\mathrm{Col}(M)$ の正確な構造は何か？
• RQ2 シンプレクティック商 $Y$ 上の微分構造は、幾何的および群論的データの観点からどのように特徴付けられるか？
• RQ3 moment map $\mu: M \to \mathfrak{k}^*$ がどの程度 $Y$ を通じて因数分解可能であり、写像 $\nu: Y \to \mu(M)$ の性質は何か？
• RQ4 反射群 $W_M$ は、テイラー級数の対称性を介して、$Y$ 上の関数の微分可能性をどのように制御するか？
• RQ5 レルマンの反例によって示されるように、$\mu^*$ が $C^\infty(M)$ 上に全射でない場合に、グイリム＝シュテルンバーグ予想における $\mu^*$ の全射性に関する予想を、どのように洗練させられるか？

主な発見

• すべての $K$-不変関数とポアソン可換する $M$ 上の関数の代数 $\mathrm{Col}(M)$ は、写像 $\widehat{\mu}: M \to Y$ を通じて $Y$ 上の滑らか関数の引き戻しと同型であり、シンプレクティック双対性 $M \leftarrow Y \to M/K$ を確立する。
• $Y$ は、$K$ のワイル群の部分商である有限反射群 $W_M$ の作用による $\mu(M)$ の商として構成され、$Y$ 上の関数のテイラー級数における対称性制約を記述する。
• $\nu: Y \to \mu(M) \subset \mathfrak{k}^*$ はホメオモーティズムであり、$Y$ が $\mu(M)$ によって位相的に決定されることを確認するが、$Y$ 上の微分構造は非自明であり、$W_M$ によって支配される。
• レルマンの反例では、$Y$ は半円錐 $x^2 + y^2 + z^2 = t^2, t \geq 0$ であり、$W_M = \{1\}$ であるが、$t$ は $\nu$ を通じた滑らかな引き戻しではない。一方、$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ という連続関数の引き戻しではあるため、微分構造の微妙さが浮き彫りになる。
• $W_M = \{\pm 1\}$ の場合、$Y$ 上の関数が滑らかであることと、原点におけるテイラー級수가 $t \mapsto -t$ の下で不変であることとは同値であり、そのような関数は $x, y, z$ のみの滑らか関数であることを意味する。
• 本稿では $\mathrm{Col}(M) = \mu^* C^0(\mathfrak{k}^*) \cap C^\infty(M)$ を証明し、$\nu$ がホメオモーティズムであり、$Y$ 上の微分構造が $W_M$ によって完全に制御されることを確認した。これにより、グイリム＝シュテルンバーグ予想の洗練された形が解決された。