[論文レビュー] Weyl laws for manifolds with hyperbolic cusps

Yannick Guedes Bonthonneau|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、正確な双曲的尾部を持つリーマン多様体上で、3つの力学的仮定（一般の場合、周期的でない測度ゼロの測地線、共役点の不在）の下で、スペクトル数関数に対するWeyl型漸近法則を確立する。正確な剰余項がコンパクト多様体理論におけるものと一致することを示し、一般性の条件の下で、非定数負曲率計量へのSelbergの共鳴数えの結果を拡張する。散乱理論とMaass-Selberg関係式を用いる。

ABSTRACT

We give Weyl-type estimates on the natural spectral counting function for manifolds with exact hyperbolic cusps. We treat three different cases: without assumption on the compact part, assuming that periodic geodesics form a measure-zero set, and assuming the curvature is negative. In each case, we obtain the same type of remainder as in the corresponding case in the context of compact manifolds. We also investigate the counting of resonances. In particular, we extend results of Selberg to the case of non-constant, negative curvature metrics, under a genericity assumption.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな尾部付き多様体、特に双曲的尾部を持つ多様体へのWeyl法則の漸近的性質を拡張すること。スペクトルには離散的および連続的成分が含まれる。
• 測地線フローに関する異なる力学的仮定（一般、周期的でない、共役点なし）の下で、スペクトル数関数 $\widetilde{N}(\lambda)$ を分析すること。
• 一般性の仮定の下で、非定数負曲率計量へのSelbergの共鳴数え結果を拡張すること。
• コンパクト多様体で知られているものと一致する正確な剰余項推定を $\widetilde{N}(\lambda)$ に対して確立すること。
• 散乱理論とMaass-Selberg関係式を用いて、散乱行列式の因子分解および散乱位相のトレース公式を導出すること。

提案手法

• Eisenstein級数と $\mathbb{C}$ 上にメロモーワーな関数である$resolvent $\mathcal{R}(s)$ を用いて、スペクトル測度を離散固有値と連続スペクトルに分解する。
• $\widetilde{N}(\lambda) = N_{pp}(\lambda) - \Psi(\lambda)$ と定義する。ここで $N_{pp}(\lambda)$ は $d^2/4 + \lambda^2$ 未満の離散固有値の数を数え、$\Psi(\lambda)$ は散乱位相を表す。
• $\widetilde{N}'(\lambda)$ のフーリエ変換が、周期的測地線の代数的長さに含まれる特異性を持つことを示し、cusp多様体へのChazarainの結果の一般化を達成する。
• 切り詰めたEisenstein級数 $G_\ell^\tau(s)$ に対してMaass-Selberg公式を導出し、$\phi(s)$（散乱行列）を含む行列値恒等式を得る。
• 多項式 $Q(s)$ と $\varphi(s)$ の零点を用いて散乱行列式 $\varphi(s)$ を因子分解し、散乱位相の導関数 $\Psi'(\lambda)$ の式を得る。
• 切り詰めたスペクトル測度のトレース $\operatorname{Tr}V(d/2 + i\lambda, \tau)$ を計算し、$\tau$、$\phi(s)$、$\phi'(s)$ を含む式を得る。この式は散乱位相と共鳴数えに結びつく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地線フローに関する異なる力学的仮定の下で、双曲的尾部を持つ多様体上でのスペクトル数関数 $\widetilde{N}(\lambda)$ に対するWeyl型漸近法則はどのように振る舞うか？
• RQ2 一般性の仮定の下で、双曲的曲面におけるSelbergの共鳴数え結果は、非定数負曲率を持つ高次元多様体へ拡張可能か？
• RQ3 周期的測地線の集合の測度がゼロであるとき、$\widetilde{N}(\lambda)$ のWeyl法則における正確な剰余項は何か？
• RQ4 散乱位相 $\Psi(\lambda)$ は、スペクトル数関数および共鳴の分布とどのように関係するか？
• RQ5 散乱行列式 $\varphi(s)$ の構造は何か？その因子分解は、スペクトルおよび共鳴の漸近的性質にどのように影響するか？

主な発見

• $\kappa$ 個の尾部と追加仮定なしの多様体では、スペクトル数関数は $\widetilde{N}(\lambda) = \frac{\operatorname{vol}B^\ast M}{(2\pi)^{d+1}}\lambda^{d+1} - \frac{\kappa}{\pi}\lambda\log\lambda + \mathcal{O}(\lambda^d)$ を満たす。
• 周期的測地線の集合の測度がゼロである（周期的でない）仮定の下では、剰余項は $\widetilde{N}(\lambda) = \frac{\operatorname{vol}B^\ast M}{(2\pi)^{d+1}}\lambda^{d+1} - \frac{\kappa}{\pi}\lambda\log\lambda + \frac{\kappa(1 - \log 2)}{\pi}\lambda + o(\lambda^d)$ に改善される。
• 共役点が存在しない場合、周期的でない場合と同一の剰余項構造が得られ、コンパクト多様体の場合と一致する。
• 散乱位相の導関数は $2\pi\Psi'(\lambda) = iQ'(d/2 + i\lambda) + \sum_{z \text{ zero}} \frac{d - 2\Re z}{(d - \Re z/2)^2 + (\lambda - \Im z)^2}$ で与えられ、和項は負である。
• 散乱行列式 $\varphi(s)$ は $\varphi(s) = \varphi(d/2)e^{iQ(s)}\prod_z \frac{s - z}{s - d + \overline{z}}$ と因子分解可能であり、$Q(s)$ は $\Re s = d/2$ 上で実数であり、$Q(s) + Q(d - s)$ は定数である。
• 切り詰めたEisenstein級数に対するMaass-Selberg公式は $V(s,\tau) = \frac{e^{2i\Im s\tau}\phi^\ast(s) - e^{-2i\Im s\tau}\phi(s)}{2i\Im s} + \frac{e^{(2\Re s - d)\tau} - e^{(d - 2\Re s)\tau}\phi\phi^\ast(s)}{2\Re s - d}$ を与え、これを用いて境界評価とトレース恒等式を導出する。