[論文レビュー] Weyl modules, affine Demazure modules, fusion products and limit constructions

Ghislain Fourier, Peter Littelmann|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2005

Holomorphic and Operator Theory被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、現在代数、アフィン Kac-Moody代数の基本表現におけるアフィンデムルゼモジュール、および特殊化された量子ループ代数のウェイルモジュールの間の同型を、すべて g ⊗ C[t]-加群として確立する。g-加群の分解定理を、テンソル積をフュージョン積に置き換えることで、g ⊗ C[t]-加群のレベルに拡張し、g = slₙ に対して、V(ℓΛ₀) の g ⊗ C[t]-加群構造を、有限次元 g-加群の半無限フュージョン積として構成する。

ABSTRACT

For a simple, simply laced complex Lie algebra g let g ⊗ C[t] be its current algebra and let g ⊗ C[t,t −1] be its loop algebra. We show that, up to a pull back by an endomorphism of g ⊗ C[t], Weyl modules for the current algebra, Weyl modules for the loop algebra, Weyl modules (specialized at q = 1) for the quantized loop algebra, and g ⊗ C[t]-stable Demazure modules in V (Λ0) are isomorphic as g ⊗ C[t]modules. We also extend the g-module decomposition theorem for these Demazure modules (see [FoL]) to the level of g ⊗ C[t]-modules, here the tensor products in [FoL] have to be replaced by fusion products. For g = sln, these results have been proved in [CL]. As an application we construct the g ⊗ C[t]-module structure of the irreducible ̂g-module V (ℓΛ0) as a semi-infinite fusion product of finite dimensional

研究の動機と目的

• 現在代数、ループ代数、q=1 における特殊化された量子ループ代数のウェイルモジュールの間の同型を、すべて g ⊗ C[t]-加群として確立すること。
• デムルゼモジュールの g-加群の分解定理を、g ⊗ C[t]-加群のレベルに拡張すること。
• g ⊗ C[t]-加群の文脈において、分解定理におけるテンソル積をフュージョン積に置き換えること。
• 有限次元 g-加群の半無限フュージョン積を用いて、非可約 ̂g-加群 V(ℓΛ₀) の g ⊗ C[t]-加群構造を構成すること。
• slₙ に対して既に知られていた結果を、任意の単純連結複素 Lie 代数に一般化すること。

提案手法

• g ⊗ C[t] の自己準同型による引き戻しを用いて、異なる代数間のウェイルモジュールを関連付ける。
• フュージョン積の理論を適用して、デムルゼモジュールの分解におけるテンソル積を置き換える。
• アフィン Kac-Moody代数 ̂g の基本表現 V(Λ₀) の構造を用いて、デムルゼモジュールを分析する。
• 既知の slₙ に関する結果（[CL] より）を、任意の単純連結 Lie 代数への一般化の基盤として用いる。
• 半無限フュージョン積の構成を用いて、V(ℓΛ₀) の g ⊗ C[t]-加群構造を実現する。
• 現在代数作用の下で、ウェイルモジュールとデムルゼモジュールの間の同型に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在代数、ループ代数、および特殊化された量子ループ代数のウェイルモジュールは、g ⊗ C[t]-加群として同型であるか？
• RQ2 デムルゼモジュールの g-加群の分解定理は、g ⊗ C[t]-加群のレベルに拡張可能か？
• RQ3 g ⊗ C[t]-安定デムルゼモジュールの分解において、フュージョン積がテンソル積を置き換える役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ4 V(ℓΛ₀) の g ⊗ C[t]-加群構造は、どのようにフュージョン積を用いて実現できるか？
• RQ5 slₙ に対して得られた結果は、どの程度任意の単純連結 Lie 代数に一般化可能か？

主な発見

• 現在代数、ループ代数、および特殊化された量子ループ代数のウェイルモジュールは、g ⊗ C[t]-加群として、g ⊗ C[t] の自己準同型による引き戻しを除いて同型である。
• デムルゼモジュールの g-加群の分解定理は、テンソル積をフュージョン積に置き換えることで、g ⊗ C[t]-加群の文脈に拡張された。
• g = slₙ の場合、[CL] で知られていた構成が、任意の単純連結 Lie 代数に一般化された。
• 非可約 ̂g-加群 V(ℓΛ₀) の g ⊗ C[t]-加群構造は、有限次元 g-加群の半無限フュージョン積として実現された。
• V(Λ₀) 内のデムルゼモジュールが、g ⊗ C[t]-作用の下で、現在代数のウェイルモジュールと同型であることが示された。
• フュージョン積の構成は、g ⊗ C[t]-安定デムルゼモジュールの分解の自然な枠組みを提供し、テンソル積の形式的記法に代わるものとなった。