[論文レビュー] Weyl structures on quaternionic manifolds. A state of the art

Liviu Ornea|ArXiv.org|May 5, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

本調査は、クaternion多様体上のウェイユ構造の理論を確立し、ウェイユ接続とクォータニオン構造を組み合わせることで、クォータニオンヘルミートウェイユ（局所的コンフォーマルクォータニオンケーラー）およびハイパーヘルミートウェイユ（局所的コンフォーマルハイパーケーラー）幾何を導入する。主な結果は、特徴的foliationのコンパクトな葉を持つ、非クォータニオンケーラーなコンパクトなクォータニオンヘルミートウェイユ多様体が、ハイパーヘルミートウェイユである有限被覆をもつことを示しており、ホフマン多様体の構成を高次元に一般化する。

ABSTRACT

This is a survey on quaternion Hermitian Weyl (locally conformally quaternion Kähler) and hyperhermitian Weyl (locally conformally hyperkähler) manifolds. These geometries appear by requesting the compatibility of some quaternion Hermitian or hyperhermitian structure with a Weyl structure. The motivation for such a study is two-fold: it comes from the constantly growing interest in Weyl (and Einstein-Weyl) geometry and, on the other hand, from the necessity of understanding the existing classes of quaternion Hermitian manifolds.

研究の動機と目的

• 多様体上のウェイユ幾何とクォータニオンヘルミートおよびハイパーヘルミート構造を統合すること。
• コンパクトなクォータニオンヘルミートウェイユ多様体における幾何的およびトポロジカル制約を明確化すること。
• このような多様体がハイパーヘルミートウェイユ構造を持つ有限被覆をもつための条件を確立すること。
• ホフマン多様体の構成を、コンパクトな葉を持つ高次元クォータニオン商へ一般化すること。

提案手法

• コンフォーマル類と整合するウェイユ接続の使用、Higgs場 θ と曲率2形式 Θ = dθ で定義される。
• Gauduchon計量を用いてHiggs場を正規化し、曲率関係を単純化する。
• ウェイユ接続のリッチテンソルおよびスカラー曲率の分析、式 Ric^D = Ric^∇g + δ^gθ·g − (n−2)(∇^gθ + ||θ||²g·g − θ⊗θ) を用いる。
• Einstein-ウェイユ条件 Ric^D = (1/n)Scal^D_g·g − ((n−2)/2)dθ を用いて可積分性および曲率制約を導出する。
• 特徴的foliation T の葉空間に、foliation理論およびオビフォールド被覆技術を適用する。
• H^n − {0} における離散部分群 G ⊂ GL(n,H)·Sp(1) の商として例の構成を行い、クォータニオン構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなクォータニオンヘルミートウェイユ多様体が、ハイパーヘルミートウェイユである有限被覆をもつ条件は何か？
• RQ2 ウェイユ接続の曲率およびホロノミー性質が、多様体上のクォータニオン構造とどのように相互作用するか？
• RQ3 特徴的foliation T が、クォータニオンヘルミートウェイユ多様体のグローバル幾何に果たす役割は何か？
• RQ4 クォータニオンホフマン多様体の構造を、Weyl幾何を保ちつつ高次元に拡張できるか？
• RQ5 オビフォールド幾何およびクォータニオンケーラー商の文脈において、葉空間 P = M/𝒟 のトポロジカル的意義は何か？

主な発見

• 特徴的foliation 𝒟 の葉がコンパクトである、非クォータニオンケーラーなコンパクトなクォータニオンヘルミートウェイユ多様体は、すべてハイパーヘルミートウェイユである有限被覆をもつ。
• コンパクトで向き付け可能な2次元以上のウェイユ多様体において、Gauduchon計量はホモトピーを除いて一意に存在し、Higgs場 δ^gθ = 0 を満たす。
• Einstein-ウェイユ構造では、スカラー曲率が dScal^D_g / n = 2n/(n−2)dδ^gθ − 2(δ^gθ)θ − 2δ^g∇^gθ + δ^g dθ − 2∇^g_T θ − (n−3)d||θ||²_g を満たす。
• G が対角的に作用しクォータニオン構造を保存するとき、M = (H^n − {0})/G はコンパクトなクォータニオンヘルミートウェイユ多様体である。
• G がKatoのリストに属するならば、M はハイパーヘルミートウェイユであり、葉空間 P = M/𝒟 は HP^{n−1} またはその Z_k 商に同型である。
• n=2 かつ G が位数3の巡回群であるとき、葉空間 P は HP^1 の Z_3 商であり、正則な葉はホフマン面、特異な葉は非原始的ホフマン面を形成する。