[論文レビュー] What are the equations of motion of classical physics?

Carmen Chicone|ArXiv.org|Sep 28, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、瞬間的な遠隔作用を有限な伝播遅れに置き換えることで、ニュートン力学から古典場理論への移行を調査し、運動方程式が関数微分方程式となる。遅延力のテイラー展開を用いた後ニュートン近似を提案し、その結果得られる通常微分方程式が、遅延の2次までの精度で慣性多様体の力学と一致することを示し、相対論的補正の古典的物理学における厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

Action at a distance in Newtonian physics is replaced by finite propagation speeds in classical physics, the physics defined by the field theories of Maxwell and Einstein. As a result, the differential equations of motion in Newtonian physics are replaced in classical physics by functional differential equations, where the delay associated with the finite propagation speed (the speed of light) is taken into account. Newtonian equations of motion, with post-Newtonian corrections, are often used to approximate the functional differential equations of motion. Some mathematical issues related to the problem of extracting the ``correct'' approximate Newtonian equations of motion are discussed.

研究の動機と目的

• ニュートンの瞬間的力の代わりに遅延場相互作用を導入することで、後ニュートン的力学の数学的基礎を確立すること。
• 有限な伝播遅れを伴う関数微分方程式（遅延付き）から、古典場理論における近似通常微分方程式への移行を分析すること。
• 相対論的場理論に由来する遅延方程式における慣性多様体の力学と遅い多様体の力学との間の厳密な関係を確立すること。
• 遅延力のテイラー展開から得られる後ニュートン展開の妥当性と精度を調査すること。
• 遅延展開の切り捨てにおいて、慣性多様体と遅い多様体上のベクトル場がτ^{N-1}の次数まで一致するという予想を検討すること。

提案手法

• 遅延力関数f(x(t), x(t−τ))をτのベキ級数としてテイラー展開し、τ^Nの次数まで展開する。
• 切り捨てられた展開からN次の通常微分方程式を導出し、後ニュートン的力学をモデル化する。
• μ = τ^{1/(N−1)}を小さなパラメータとして用い、N次の系を特異摂動問題としての1階系に変換する。
• 幾何学的特異摂動理論を適用し、十分に小さなτ ≠ 0に対してn次元の遅い多様体の存在を証明する。
• 慣性多様体と遅い多様体上で生成されるベクトル場を比較し、τ²の次数まで一致するかを評価する。
• 線形遅延の場合に等価性を示すために組合せ論的恒等式（例：アーベルの一般化）を用い、非線形一般化への道筋を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な伝播遅れを伴う古典場理論の運動方程式は、どのように通常微分方程式で近似可能か？
• RQ2 遅延τの何次の精度まで、遅延方程式の慣性多様体と遅い多様体上のベクトル場が一致するか？
• RQ3 小さな遅れを伴う関数微分方程式から導かれる系に対して、遅い多様体の存在を保証する数学的条件は何か？
• RQ4 相対論的運動方程式の後ニュートン近似は、遅延力のテイラー展開から厳密に導出可能か？
• RQ5 線形遅延の場合に用いられた組合せ論的恒等式の一般化は、非線形遅延設定における力学の等価性を示すために可能か？

主な発見

• 有限な伝播速度（例：光速）に起因する古典物理学における運動方程式の関数微分方程式は、ニュートンのODEに代わり遅延依存力によって置き換えられる。
• 遅延力関数f(x(t), x(t−τ))をτのベキ級数として展開することで、後ニュートン近似が得られ、N次のODE近似が体系的に導かれる。
• 得られたN次の系は、μ = τ^{1/(N−1)}によるスケーリングを施すことで、小さなτに対して特異摂動形式をとるようになり、遅い多様体を有する。
• 線形遅延方程式ẋ(t) = A x(t−τ)に対して、慣性多様体上のベクトル場と遅い多様体上のベクトル場がτ²の次数まで一致し、明示的な式X(x,τ) = ∑_{j=0}^∞ (−1)^j (1+j)^j / (1+j)! τ^j A^{1+j} x が導出される。
• 非自明な組合せ論的恒等式を用いて、慣性多様体と遅い多様体上のベクトル場がτ²の次数まで一致することが証明され、より深い構造的同等性が示唆される。
• 一般の遅延方程式に対して、一致がτ^{N−1}の次数まで成立するとする予想が提示されるが、一般の証明は未解決であり、特に非線形の場合に課題が残る。