[論文レビュー] What Dimensions Do the Time and Space Have: Integer or Fractional?

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Jan 17, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、物理的場のエネルギー密度から導かれる一般化された分数階微分（GFD）を用いて、時間と空間が多様な次元を持つ分数次元（FD）を有する、革新的な理論的枠組みを提案する。主な貢献は、時間と空間の非整数次元に起因する幾何学的結果として、すべての物理的場と力が統一的に記述されることであり、整数極限において古典的物理学に還元され、発散を伴わない強場領域における新たな予測を示唆する。

ABSTRACT

A theory of time and space with fractional dimensions (FD) of time and space ($d_α, α=t,{\bf r})$ defined on multifractal sets is proposed. The FD is determined (using principle of minimum the functionals of FD) by the energy densities of Lagrangians of known physical fields. To describe behaviour of functions defined on multifractal sets the generalizations of the fractional Riemann-Liouville derivatives $D_{t}^{d(t)}$ are introduced with the order of differentiation (depending on time and coordinate) being equal the value of fractional dimension. For $d_{t}=const$ the generalized fractional derivatives (GFD) reduce to ordinary Riemann-Liouville integral functionals, and when $d_{t}$ is close to integer, GFD can be represented by means of derivatives of integer order. For time and space with fractional dimensions a method to investigate the generalized equations of theoretical physics by means of GFD is proposed. The Euler equations defined on multifractal sets of time and space are obtained using the principle of the minimum of FD functionals. As an example, a generalized Newton equation is considered and it is shown that this equation coincide with the equation of classical limit of general theory of relativity for $d_{t} o 1$. Several remarks concerning existence of repulsive gravitation are discussed. The possibility of geometrization all the known physical fields and forces in the frames of the fractal theory of time and space is demonstrated.

研究の動機と目的

• すべての物理的場と力が時間と空間のフラクタル幾何学から生じる統一的理論的枠組みを構築すること。
• 時間と空間の次元の性質に関する基礎的問いを、分数次元を基本的な物理的属性として導入することによって解決すること。
• 時間と空間に応じて変化する次元を持つ多様なフラクタル集合上での力学を記述する数学的形式主義（一般化された分数階微分：GFD）を提供すること。
• 分数次元が整数に近づく極限において、古典的および相対論的方程式がどのように導かれるかを示すこと。
• 非整数次元が強場領域における重力、保存則、物理理論の構造に与える影響を検討すること。

提案手法

• 理論は、時間と空間を、局所的に変化する分数次元 $d_t({\bf r},t)$ および $d_{\bf r}({\bf r},t)$ を持つ多様なフラクタル集合上に存在する物質的場として定義し、ラグランジュエネルギー密度の汎関数を最小化することで導出する。
• 一般化された分数階微分（GFD）を導入し、微分の順序を $d(t)$ または $d({\bf r})$ とする。$d_t = \text{const}$ のとき標準的なリーマン＝リウヴィル微分に還元され、$d_t \to 1$ のとき整数階微分に還元される。
• 多様なフラクタル集合上での最小FD汎関数の原理を用いて、Euler-Lagrange方程式を導出し、一般化された運動方程式を得る。
• 時間と空間の部分集合 $S_t$ および $S_r$ 上に定義された関数に適用され、$1/t = P(1/t) \pm \pi i\delta(t)$ を用いて特異積分を正則化し、発散を処理する。
• 形式主義により、物理的場の起源が時空のフラクタル構造に起因することを前提とし、すべての既知の物理的場の幾何学的統一が可能になる。
• 一般化されたニュートン方程式を用いて理論を検証し、$d_t \to 1$ のとき一般相対性理論の古典的極限に一致することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間と空間の次元が分数である可能性はあり、その場合、エネルギー密度などの物理的原理からどのように導出可能か？
• RQ2 ニュートン的および相対論的方程式といった理論物理学の標準的方程式が、変動する分数次元を持つ理論の極限としてどのように現れるか？
• RQ3 微分の順序が時間と空間座標に依存する場合、一般化された分数階微分（GFD）の数学的構造はどのようなものか？
• RQ4 提案されたモデルは、非整数次元を持つ時間と空間の幾何学から、すべての既知の物理的場と力がどのように生じるかをどのように説明するか？
• RQ5 この理論は、開いて多様なフラクタル時空における反発的重力と保存則の存在にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 多様なフラクタル構造から導かれた一般化されたニュートン方程式は、時間次元が 1 に近づくとき、一般相対性理論の古典的極限と一致する。すなわち $d_t \to 1$ のとき成立する。
• 地球表面における時間次元の分数次元補正は $d_t - 1 \sim 10^{-12}$ と推定され、弱場領域における標準的物理学の使用が正当化される。
• すべての既知の物理的場と力は、時空のフラクタル構造に起因する幾何学的統一として記述可能であり、分数次元が場の生成の源として機能する。
• 理論は強場領域において発散を示さないことを予測しており、標準的量子場理論に欠如する自然な正則化機構を示唆する。
• モデルは、空間次元の分数的性質に起因する「時間的」場の新種を導入し、標準的物理場と類似の式を有する。
• この枠組みにより、任意の速度で運動可能な「ほぼ慣性系」の存在が可能となり、分数補正を無視すれば特殊相対性理論に還元される。