[論文レビュー] What does a rate in a mean ergodic theorem imply?

A. M. Gomilko, Yuri Tomilov|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

advanced mathematical theories参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間上の$C_0$-半群に対して、関数計算とStieltjes関数を用いて、逆平均エルゴード定理の収束速度に関する体系的枠組みを確立する。Cesàro平均の最適な減衰率を特徴付ける。もし$\|\mathrm{C}_t(A)x\| = \mathrm{O}(f(t^{-1}))$であれば、$x$は$f(A)$の値域上に存在しなければならず、対数的およびべき乗的減衰率に対してその条件の最適性を示す鋭い例を提示する。

ABSTRACT

We develop a general framework for the inverse mean ergodic theorems with rates for operator semigroups thus completing a construction of the theory initiated in [16] and [17].

研究の動機と目的

• 直接の理論の延長として、収束速度付き逆平均エルゴード定理の一般的で体系的な枠組みを構築すること。
• Cesàro平均$\mathrm{C}_t(A)x$が与えられた速度で減衰するための最適な条件を特徴付けること。これにより、既知の結果をより広い関数クラスに拡張する。
• Cesàro平均の減衰速度$\|\mathrm{C}_t(A)x\|$と生成作用素$A$の関数の値域への$ x $ の属する条件を結びつける鋭い逆定理を確立すること。
• $L_1$-空間における明示的な反例と構成を用いて、これらの逆定理の最適性を示すこと。
• 従来の手法の限界を克服するため、対数的および多項式的減衰率に適用可能な一貫性のある関数計算に基づく手法を導入すること。

提案手法

• 扇型作用素に対する関数計算を用いて、Cesàro平均の減衰速度を生成作用素$A$のスペクトル的性質に関連付ける。
• Stieltjes関数$g$とゆっくり変化する関数$\epsilon$を用い、$g(1/t)\epsilon(g(1/t))$を通じて明示的な減衰速度条件を構成する。
• 部分積分と漸近解析を適用して、$\|\mathrm{C}_t(A)x\|$が所定の速度で減衰するための$ x $ に関する必要条件を導出する。
• 恒等式$tA(I+A)^{-1}\mathrm{C}_t(A)x = (I - T(t))(I+A)^{-1}x$を用い、平均の減衰と解像度の振る舞い、弱収束との関係を関係付ける。
• 反例を$L_1$-空間の構成により作成し、ドメイン内のすべての要素に対して特定の減衰条件が成り立たないことを示し、鋭さを証明する。
• 関数$\varphi(t)$を含む積分条件を適用し、$\int_1^\infty \|\mathrm{C}_t(A)x\| / \varphi(t)\,dt < \infty$ が成り立つならば、$\int_1^\infty dt/(t\varphi(t)) = \infty$ であれば$x=0$であることを示し、極限的な減衰限界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数$f$が$\|\mathrm{C}_t(A)x\| = \mathrm{O}(f(t^{-1}))$を満たすならば、$x \in \mathrm{ran}(f(A))$を保証する最適な関数$f$は何か？
• RQ2 直接の収束速度付き平均エルゴード定理の逆含意を、一般の関数計算枠組みで特徴付けることは可能か？
• RQ3 関数$f$に対して、$\|\mathrm{C}_t(A)x\|$の減衰速度に関する鋭い条件は何か？ その条件が$ x \in \mathrm{ran}(f(A))$を保証する。
• RQ4 ゆっくり変化する関数とStieltjes関数は、どのようにして最適な減衰速度特徴付けを生み出すか？
• RQ5 どの程度の極端な減衰速度まで、非ゼロの$x$が減衰条件を満たせないか？

主な発見

• Bernstein関数$f$で$\lim_{t\to 0^+} f(t) = 0$を満たすものに対して、$\|\mathrm{C}_t(A)x\| = \mathrm{O}(f(t^{-1}))$ならば$x \in \mathrm{ran}(f(A))$であり、この条件は最適である。
• $g(z) = z^{-\gamma}$（$\gamma \in (0,1)$）に対して、ある$y \in L_1$が存在し、$\|\mathrm{C}_t(A)y\| = \mathrm{O}\left(\frac{1}{t^\gamma \log t \log(\log t)}\right)$を満たすが、$y \notin \mathrm{dom}(A^{-\gamma})$である。これにより、値域条件の鋭さが示される。
• $g(z) = \log(1 + z^{-1})$ に対して、ある$y \in L_1$が存在し、$\|\mathrm{C}_t(A)y\| = \mathrm{O}\left(\frac{1}{\log t \cdot \log(\log t) \cdot \log(\log(\log t))}\right)$を満たすが、$y \notin \mathrm{dom}(\log(I + A^{-1}))$である。これにより、逆定理の最適性が証明される。
• 正の増加関数$\varphi$で$\int_1^\infty \frac{dt}{t\varphi(t)} = \infty$を満たすものに対して、$\int_1^\infty \frac{\|\mathrm{C}_t(A)x\|}{\varphi(t)}\,dt < \infty$ ならば$x = 0$である。これは、非ゼロの$x$が$L^1$-積分的意味で$1/t$より速く減衰することはできないことを示し、極限的な減衰限界を示す。
• ある$x \in \mathrm{dom}(g(A))$に対して、$\sup_{t \geq 1} g(1/t)\epsilon(g(1/t))\|\mathrm{C}_t(A)x\|_{L_1} = \infty$ が成り立つ。これにより、ドメイン全体でより強い減衰条件が一様に成り立つことは不可能であることが証明される。