[論文レビュー] What is the absolutely continuous spectrum?

Laurent Bruneau, Vojkan Jakšić+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、自己随伴作用素の絶対連続（ac）スペクトルとオープンな量子系における電子輸送の間のきめ細やかな関係を確立する。量子系を電子ブラックボックス（EBB）モデルを用いて有限なサンプルとリザボアを結合させた形でモデル化することで、著者らは、熱力学的極限において定常状態の電流が持続するエネルギーが、acスペクトルに丁度一致することを証明した。これにより、長年にわたり物理的直感として用いられてきた仮説が、数学的に厳密に裏付けられた。

ABSTRACT

We summarize (and comment on) the research program carried out in (CMP 319, 501 (2013)), (CMP 338, 347 (2015)), (CMP 344, 959 (2016), (LMP 106, 787 (2016)). This program is devoted to the characterization of the absolutely continuous spectrum of a self-adjoint operator H in terms of the transport properties of a suitable class of open quantum systems canonically associated to H.

研究の動機と目的

• 自己随伴作用素の絶対連続スペクトルを、オープンな量子系における輸送特性を用いて数学的に厳密に特徴づけること。
• 長年の仮説であるacスペクトルが導電エネルギーに対応するという仮説を、測定可能な電子電流と結びつけることにより、これを解消すること。
• ACET予想とシュレーディンガー予想の同値性を確立し、後者の失敗が及ぼす影響を分析すること。
• 多体系量子系における局在化と伝導の動的で物理的根拠に基づく定義を築く基盤を提供すること。
• 短距離相互作用を有する多体系ハミルトニアンを導入することで、フレームワークを相互作用系へと拡張し、電流観測量を保ったままにすること。

提案手法

• スペクトル三重対 $({\rm H}, H, \rho)$ を、$\ell^2(\mathbb{N})$ 上のジャコビ行列 $J$ にユニタリー同値に表現する。
• 有限区間 $\{1, \dots, L\}$ を、零温度および化学ポテンシャル $\mu_l < \mu_r$ の2つのリザボアに結合させることで、電子ブラックボックス（EBB）モデルを構築する。
• 伝達振幅を用いて電流を表すランダウアー＝ビュッテイカーの公式を用いて、定常状態電流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$ を計算する。
• $L \to \infty$ の極限における $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$ の挙動を分析し、電流が持続するエネルギー集合を特定する。
• ACET予想とシュレーディンガー予想の同値性を用いて、スペクトルの問題を輸送挙動の観点から再定式化する。
• ハミルトニアンに短距離相互作用項 $W$ を加えることで、フレームワークを相互作用系へと拡張し、電流観測量 $\mathcal{J}_L$ を保ったままにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己随伴作用素の絶対連続スペクトルは、オープンな量子系の熱力学的極限において、電子電流が持続するエネルギー集合に一致するか？
• RQ2 acスペクトルと持続的電流を結びつけるACET予想は、有界な一般化固有関数に関するシュレーディンガー予想と同値か？
• RQ3 アヴィラの反例によって示されるシュレーディンガー予想の失敗が、ACET予想および量子系における輸送に及ぼす動的影響は何か？
• RQ4 提案されたフレームワークを相互作用を有する多体系に拡張し、電流の減衰または持続性によって局在化と伝導領域を定義できるか？
• RQ5 acスペクトルが存在しない場合、電流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$、$\langle \mathcal{J}_L^{\rm Th} \rangle_+$、$\langle \mathcal{J}_L^{\rm Cr} \rangle_+$ の収束速度はどのように振る舞うか？

主な発見

• ジャコビ行列 $J$ の絶対連続スペクトルは、$\liminf_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_+ > 0$ を満たす $](\mu_l, \mu_r)$ 内のエネルギー集合に丁度一致する。
• ACET予想はシュレーディンガー予想と同値であり、その失敗（アヴィラの反例による）はACET予想の失敗を意味する。
• 定理7.1、7.2、7.3は、$H$ のacスペクトルが $](\mu_l, \mu_r)$ と交差しないことと、$\lim_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_+ = 0$ が同値であることを確立している。
• 電流 $\langle \mathcal{J}_L \rangle_+$ が $L \to \infty$ の極限で持続するための必要十分条件は、エネルギーがacスペクトルの本質的台に含まれることである。
• $\kappa = 0$ の場合、導電領域（$\liminf_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_{+,{\rm inf}} > 0$）と局在化領域（$\limsup_{L \to \infty} \langle \mathcal{J}_L \rangle_{+,{\rm sup}} = 0$）の定義は、$](\mu_l, \mu_r)$ 内にacスペクトルが存在するか否かに完全に一致する。
• 提案されたフレームワークにより、相互作用を加えた場合でさえも、多体系における長時間平均電流を用いて、数学的に厳密な多体系局在化の定式化が可能になる。