[論文レビュー] What is the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables has an integral zero?

Manjul Bhargava, J. E. Cremona+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ガウス正交行列 Ensemble (GOE) 分布に従って選ばれた $n$ 変数の整数係数二次形式が非自明な整数零点（つまり、等方的）である確率の正確な値を決定する。グローバルな等方的確率は、すべての $p$-進体および実数体における局所的確率の積として与えられ、$p$-進密度は明示的な有理関数で、実数体における等方的確率は閉形式で表される。特に四次形式では、等方的確率が約 98.3% に達する。

ABSTRACT

We show that the density of quadratic forms in $n$ variables over $\mathbb Z_p$ that are isotropic is a rational function of $p$, where the rational function is independent of $p$, and we determine this rational function explicitly. When real quadratic forms in $n$ variables are distributed according to the Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) of random matrix theory, we determine explicitly the probability that a random such real quadratic form is isotropic (i.e., indefinite). As a consequence, for each $n$, we determine an exact expression for the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables is isotropic (i.e., has a nontrivial zero over $\mathbb Z$), when these integral quadratic forms are chosen according to the GOE distribution. In particular, we find an exact expression for the probability that a random integral quaternary quadratic form has an integral zero; numerically, this probability is approximately $98.3\%$.

研究の動機と目的

• GOE分布に従って選ばれた $n$ 変数の整数係数二次形式が非自明な整数零点（等方的）を持つ確率の正確な値を求める。
• すべての素数 $p$ に対して、$\mathbb{Z}_p$ 上の等方的二次形式の局所的密度を計算し、$p$ に依存しない有理関数として表されることを示す。
• ランダムな実二次形式（GOE分布下）が不定（すなわち、$\mathbb{R}$ 上で等方的）である確率の正確な式を導出する。
• ハッセ＝ミンコフスキーの定理を用いて局所的確率と実数体の確率を組み合わせ、整数係数二次形式のグローバル等方的確率を計算する。
• 特に $n=4$ の場合について、明示的かつ数値的に検証可能な結果を提供し、等方的確率が約 98.3% に達することを示す。

提案手法

• ハッセ＝ミンコフスキーの定理を用いて、グローバルな等方性を $\mathbb{R}$ およびすべての $\mathbb{Z}_p$ 上の局所的可解性に還元し、グローバル確率を局所的確率の積として表現する。
• ランダム整数係数二次形式のモデルとしてGOE分布を用い、ランダム行列理論を応用して不定な実二次形式の確率を計算する。
• $\mathbb{Z}_p^{n(n+1)/2}$ 上の測度を用いて、$p$-進等方的密度の再帰的公式を導出し、各 $n$ に対して $\rho_n(p)$ が $p$ の有理関数であることを証明する。
• GOE行列の固有値分布を用いて、実数体における等方的確率 $\rho_n(\infty)$ を計算し、ヘルミート関数に類似した関数の積分から導かれる歪対称行列のペファイアンとして表現する。
• 直交多項式展開とペファイアンの恒等式を用いて、得られた行列式表現を評価し、$\pi^{-1}$ および $\sqrt{2}$ を含む閉形式の代数的表現を得る。
• 小規模な $n$ に対して数値的に結果を検証し、特に $\rho_4 \approx 98.3\%$ が積分公式の明示的評価により得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GOE分布に従って選ばれた $n$ 変数の整数係数二次形式が非自明な整数零点を持つ確率の正確な値は何か？
• RQ2 $\mathbb{Z}_p$ 上の $n$ 次二次形式の等方的密度は $p$ に依存するか？もし依存するならば、それは $p$ に依存しない有理関数であるか？
• RQ3 ランダムな実二次形式（GOE分布下）が不定（すなわち、$\mathbb{R}$ 上で等方的）である確率の正確な値は何か？
• RQ4 整数係数二次形式のグローバル等方的確率は、すべての $p$ および $\infty$ における局所的確率の積として表されるか？その場合、得られる式は何か？
• RQ5 四次二次形式（$n=4$）の等方的確率の正確な値は何か？また、数値的期待値と比較するとどうなるか？

主な発見

• 整数係数 $n$ 次二次形式が $\mathbb{Z}_p$ 上で等方的である確率密度は、$p$ に依存しない有理関数であり、$n=1$ から $n=4$ に対して明示的な式が与えられ、$n \geq 5$ の場合は $\rho_n(p) = 1$ である。
• 四次形式の場合、グローバル等方的確率は $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{1}{\pi}\right) \prod_p \left(1 - \frac{p^3}{4(p+1)^2(p^4 + p^3 + p^2 + p + 1)}\right) \approx 98.3\%$ に等しい。
• ランダムな実 $n$ 次二次形式（GOE分布下）が不定である確率は、ヘルミート関数に類似した関数の積分から導かれる歪対称行列のペファイアンとして与えられる。
• 実数体における等方的確率 $\rho_n(\infty)$ は、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の係数をもつ $\pi^{-1}$ の多項式であり、次数は $\lfloor(n+1)/4\rfloor$ 以下である。
• $n \geq 5$ の場合、$\mathbb{Z}_p$ 上での等方的確率は 1 であるため、グローバル等方的確率は実数体および有限 $p$-進体の寄与によって完全に決定される。
• 本手法は、$p$-進密度を計算する一様な再帰的アプローチを提供し、すべての $n$ 次形式が $\mathbb{Q}_p$ 上で $n \geq 5$ のとき等方的であるという事実の新しい証明をもたらす。