[論文レビュー] What is the theory ZFC without power set?

Victoria Gitman, Joel David Hamkins+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ZFCから冪集合公理を除いた理論（ZFC⁻）が、基礎的な集合論的結果を示すのに不十分であることを示している。具体的には、可算和の可算性、ω₁の正則性、および超積に関するŁośの定理を証明できない。主な貢献は、置換公理を集合収集公理に置き換えることで、より強力でより頑健な理論—ZFC⁻—が得られ、これにより上記の欠陥が是正されることを示したことである。

ABSTRACT

We show that the theory ZFC-, consisting of the usual axioms of ZFC but with the power set axiom removed-specifically axiomatized by extensionality, foundation, pairing, union, infinity, separation, replacement and the assertion that every set can be well-ordered-is weaker than commonly supposed and is inadequate to establish several basic facts often desired in its context. For example, there are models of ZFC- in which $ω_1$ is singular, in which every set of reals is countable, yet $ω_1$ exists, in which there are sets of reals of every size $\aleph_n$, but none of size $\aleph_ω$, and therefore, in which the collection axiom sceme fails; there are models of ZFC- for which the Los theorem fails, even when the ultrapower is well-founded and the measure exists inside the model; there are models of ZFC- for which the Gaifman theorem fails, in that there is an embedding $j:M o N$ of ZFC- models that is $Σ_1$-elementary and cofinal, but not elementary; there are elementary embeddings $j:M o N$ of ZFC- models whose cofinal restriction $j:M o \bigcup j``M$ is not elementary. Moreover, the collection of formulas that are provably equivalent in ZFC- to a $Σ_1$-formula or a $Π_1$-formula is not closed under bounded quantification. Nevertheless, these deficits of ZFC- are completely repaired by strengthening it to the theory $ZFC^-$, obtained by using collection rather than replacement in the axiomatization above. These results extend prior work of Zarach.

研究の動機と目的

• ZFCから冪集合公理を除いた理論（ZFC⁻）の基礎的欠陥、特に冪集合公理と置換公理の欠如に起因するものについて調査すること。
• ZFC⁻が、ω₁の正則性や超積に関するŁośの定理といった基本的事実を証明できないことを示すこと。
• ZFC⁻が、可算集合の可算和が可算であることを証明できないこと、すなわちω₁が存在しても同様に成立することを示すこと。
• ZFC⁻が、各n < ωに対して|ℵn|のサイズの実数の集合は存在するが、|ℵω|のサイズの実数の集合の存在を証明できないことの確立。
• ZFC⁻が大基数理論や超積構成への応用に不適切であることを主張し、集合収集公理を用いたZFC⁻をより優れた代替案として提唱すること。

提案手法

• 特にLévyの衝撃Coll(ℵ₁, <ℵω)を用いた強制法反復により、ZFC⁻のモデルを構成し、ω₁が特異的であるモデルを得ること。
• 強制法の弱い積を用いて、ZFC⁻のモデルを構築し、集合収集が失敗するようにすること。具体的には、与えられた集合からの関数の像を収集する単一の集合が存在しないようにすること。
• 内部超フィルターを用いた超積構成をZFC⁻のモデルで分析し、超積が正則的である場合でも、超積写像が初等的でないことがあることを示すこと。
• Gaifmanの定理を適用し、ZFC⁻において、共終的Σ₁初等的埋め込みが初等的でないことがあることを示し、定理の失敗を示すこと。
• P(ω)が存在し、超積写像が定義可能であるがΣ₂初等的でない内モデルW ⊆ V[G]における定義可能超積を用いること。
• Zarachの一般的枠組みを用いて、強制法の有限積の増加列によるZFC⁻のモデル構成を活用し、Łośの定理と集合収集の失敗を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFC⁻は、可算集合の可算和が可算であることを証明できるか？
• RQ2 ZFC⁻は、ω₁が正則的であることを保証するのか？それともZFC⁻のモデルにおいてω₁が特異的になり得るか？
• RQ3 ZFC⁻は、各n < ωに対して|ℵn|のサイズの実数の集合が存在するとしても、|ℵω|のサイズの実数の集合の存在を証明できるか？
• RQ4 超積が正則的で、測度がモデルに属していても、ZFC⁻のモデルにおいてŁośの超積定理は成立するか？
• RQ5 ZFC⁻のモデル間で、初等的でないが共終的Σ₁初等的埋め込みが存在しうるか？これはGaifmanの定理の違反を示唆する。

主な発見

• ω₁が存在するが、ω₁が特異的であるZFC⁻のモデルが存在する。これはZFC⁻がω₁の正則性を証明できないことを示している。
• すべての実数の集合が可算であるが、ω₁が存在するZFC⁻のモデルが存在する。これはZFC⁻が非可算な実数の集合の存在を証明できないことを示している。
• 各n < ωに対して|ℵn|のサイズの実数の集合が存在するが、|ℵω|のサイズの実数の集合が存在しないZFC⁻のモデルが存在する。これはZFC⁻がそのような集合の存在を証明できないことを示している。
• Łośの超積定理はZFC⁻では失敗する。M ⊨ ZFC⁻で、M-正規測度μを備えたモデルMが存在し、μによる超積が正則的であるが、超積写像は初等的でない。
• Gaifmanの定理はZFC⁻で失敗する。ZFC⁻のモデルMとNの間で、共終的Σ₁初等的埋め込みj:M → Nが存在するが、これは初等的でない。また、共終的制限j:M → ⋃j[M]が初等的でない場合がある。
• ZFC⁻において、Σ₁またはΠ₁の論理式に論理的に同値な式の集合が、有界量化に関して閉じていない。これは理論の論理的構造に根本的な欠陥があることを示している。