[論文レビュー] When is Containment Decidable for Probabilistic Automata?

Laure Daviaud, Marcin Jurdziński+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 29被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、確率オートマトン（PA）のあいまいさのレベルに関連して、空性および包含問題の決定可能性を調査する。多項式的あいまいさを持つPAに対しては、ギャップ空性問題が決定可能であることが証明されるが、標準的な空性および包含問題は、線形的あいまいさを持つPAに対しても決定不能のままである。重要かつ本質的なのは、一方のオートマトンが非あいまいであり、他方が有限にあいまいである場合に包含問題が決定可能であることを示したことである。これは、シュワンツェルの予想の下で実指数関数の理論の決定可能性に依拠している。

ABSTRACT

The containment problem for quantitative automata is the natural quantitative generalisation of the classical language inclusion problem for Boolean automata. We study it for probabilistic automata, where it is known to be undecidable in general. We restrict our study to the class of probabilistic automata with bounded ambiguity. There, we show decidability (subject to Schanuel's conjecture) when one of the automata is assumed to be unambiguous while the other one is allowed to be finitely ambiguous. Furthermore, we show that this is close to the most general decidable fragment of this problem by proving that it is already undecidable if one of the automata is allowed to be linearly ambiguous.

研究の動機と目的

• さまざまなあいまいさの程度における確率オートマトンの空性および包含問題の決定可能性を特定すること。
• 線形的、多項式的、有限あいまいさといったあいまいさクラスを分析することで、決定可能と決定不能の境界を特定すること。
• 一方のオートマトンが非あいまいであり、他方が有限にあいまいである場合に、包含問題が決定可能である条件を確立すること。
• 数学的論理、特に実指数関数の決定可能性が、PAの包含問題における決定可能性結果の証明に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 非決定的有限オートマトンへの還元により、確率オートマトンのあいまいさを分析し、線形的・多項式的・有限にあいまいであると分類する。
• 近似技術を用いて、多項式的あいまいさを持つPAを有限にあいまいなPAに還元し、後者クラスにおける空性の決定可能性を活用する。
• 補集合オートマトンガジェット（例：C(x,y,z)）を用いて、1−[[A]]および1−[[B]]のためのオートマトンを構築し、受理走査の構造的解析により線形的あいまいさを証明する。
• ミンコフスキー＝ヴェイル分解および錐に基づく推論を用いて、指数関数を含む不等式系の解を分析する。
• シュワンツェルの予想の下で実指数関数の理論の決定可能性に依拠し、非あいまい対有限にあいまいな場合の包含問題の決定可能性を証明する。
• 包含問題をしきい値比較を含むプロミス問題に還元し、既知の決定不能問題からの還元を構築することで、線形的あいまいさの場合の決定不能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的あいまいさを持つ確率オートマトンに対して、ギャップ空性問題は決定可能か？
• RQ2 線形的あいまいさを持つ確率オートマトンに対して、標準的な空性および包含問題は決定可能か？
• RQ3 一方のオートマトンが非あいまいであり、他方が有限にあいまいである場合に、包含問題は決定可能か？
• RQ4 実指数関数の決定可能性が、PAの包含問題における決定可能性結果の証明に果たす役割は何か？
• RQ5 あいまいさが増加するに従い、オートマトンの構造的性質が決定可能から決定不能にどのように移行するか？

主な発見

• 近似による有限にあいまいなオートマトンへの還元により、多項式的あいまいさを持つ確率オートマトンにおけるギャップ空性問題が決定可能であることが示された。
• 標準的な空性および包含問題は、線形的あいまいさを持つ確率オートマトンに対しても決定不能であり、これは、二次的あいまいさを持つオートマトンに対して既存の結果を強化するものである。
• 一方のオートマトンが非あいまいであり、他方が有限にあいまいである場合に、包含問題は決定可能である。これは、シュワンツェルの予想の下で実指数関数の理論の決定可能性に依拠している。
• キーガジェット（例：C(x,y,z)）の補集合オートマトンは、状態遷移の構造的解析により受理走査の数を制限することで、線形的あいまいさであることが証明された。
• 補集合オートマトンにおける受理走査の数は、語長の線形関数で上限が与えられ、構成における線形的あいまいさが確認された。
• 非あいまい対有限にあいまいな場合の決定可能性の証明は、シュワンツェルの予想に条件づけられた理論における充足可能性問題への還元に依拠している。