[論文レビュー] Which infinite abelian groups admit an almost maximally almost-periodic group topology?

Athena P. Nguyen|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限個の捩れ部分群をもつ任意の無限アーベル群が、非自明で有限なvon Neumann核をもつハウスドルフ位相群構造をもつことを確立している。主な貢献は、$p=2$ の場合のプリューファー 2 群 $
mathbb{Z}(2^\infty)$ に対してこの事実を示したことである。これは、奇素数の場合にのみ以前に知られていた結果を完成させるものであり、$T$-系列と特性群の技法を用いて証明されている。

ABSTRACT

A topological group G is said to be almost maximally almost-periodic if its von Neumann radical is non-trivial, but finite. In this paper, we prove that every abelian group with an infinite torsion subgroup admits a (Hausdorff) almost maximally almost-periodic group topology. Some open problems are also formulated.

研究の動機と目的

• 非自明だが有限なvon Neumann核（すなわち、ほぼ最大のほぼ周期的）をもつハウスドルフ位相群構造をもつ無限アーベル群を特定すること。
• $p \neq 2$ の場合にのみ知られていたLukácsの結果（$
  mathbb{Z}(p^\infty)$ がほぼ最大のほぼ周期的位相をもつこと）を $p = 2$ の場合に拡張し、プリューファー群の分類を完成させること。
• 構造的群論的および位相的技法を用いて、無限個の捩れ部分群をもつ任意のアーベル群が、このような位相をもつことを確立すること。
• ハウスドルフ位相群においてアーベル群がvon Neumann核として実現可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 特定の要素が単位元に収束するような位相群構造を構成するために、アーベル群における $T$-系列を用いる。
• ポントリャーギン双対性理論を適用する：von Neumann核 $\mathbf{n}(G)$ は、すべての連続的特徴関数 $\chi \in \widehat{G}$ の核の共通部分である。
• ボール・コンパクト化 $bG = \widehat{\widehat{G}_d}$ を用いて、$\mathbf{n}(G)$ が $\chi \in \widehat{G}$ 全体に対する $\ker \chi$ の共通部分として特徴づけられることを示す。
• 特性群の同型 $\widehat{\mathbb{Z}(p^\infty)} \cong \mathbb{Z}_p$ を用いて、プリューファー群上の特徴関数を解析し、その核を制御する。
• ある一般結果（定理 4.2）を適用する：群 $B$ の部分群 $A$ が、ほぼ最大のほぼ周期的位相をもつ群のクラス $\mathcal{A}$ に属する場合、ある条件下で $B$ も $\mathcal{A}$ に属することを示す。
• 還元された $p$-群の構造と、$
  mathbb{Z}(2^\infty)$ に存在する $T$-系列の性質を活用して、所望の位相を明示的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの無限アーベル群が、非自明だが有限なvon Neumann核をもつハウスドルフ位相群構造をもつのか？
• RQ2 $
  mathbb{Z}(p^\infty)$ がほぼ最大のほぼ周期的位相をもつという結果を $p = 2$ に拡張できるか？
• RQ3 どのアーベル群がハウスドルフ位相群のvon Neumann核として現れることができるか？
• RQ4 どのアーベル群がハウスドルフアーベル位相群のvon Neumann核として現れる可能性があるか？
• RQ5 無限個の捩れ部分群をもつ任意のアーベル群に、ほぼ最大のほぼ周期的位相群構造を導入できるか？

主な発見

• 定理 A は、無限個の捩れ部分群をもつ任意のアーベル群が、ハウスドルフのほぼ最大のほぼ周期的位相群構造をもつことを確立している。
• 定理 B は、$
  mathbb{Z}(2^\infty)$ と任意の非ゼロ元 $x$ に対して、$\mathbf{n}(\mathbb{Z}(2^\infty), \tau) = \langle x \rangle$ となるハウスドルフ位相群 $\tau$ が存在することを証明している。ここで $\langle x \rangle$ は有限巡回部分群である。
• 定理 B の $p = 2$ の場合の証明により、Lukács が $p \neq 2$ の場合に既に示していた結果が完成する。
• ほぼ最大のほぼ周期的位相をもつ群のクラス $\mathcal{A}$ は、ある種の群拡張に関して閉じており、この性質により部分群から大きな群へと性質を移すことができる。
• 適切な $T$-系列の構成により、$
  mathbb{Z}(2^\infty)$ のvon Neumann核を、非ゼロ元によって生成される任意の有限巡回部分群に一致させることができる。
• von Neumann核として現れるアーベル群のクラス $\mathcal{B}$ には、$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ およびそれらの任意の直和・直積が含まれる。