[論文レビュー] Which random walks are cyclic?

Davide Gabrielli, Carla Valente|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ζ^d$、有限グラフ、離散トーラスにおけるランダムウォークが、有限サイクルの重ね合わせとして表現可能である、すなわち循環的分解を許容する条件を特徴づけている。主な結果として、$ζ^d$ 上の並進不変ランダムウォークが循環的であるための必要十分条件は、そのジャンプ分布がバランスされていることである。有限グラフでは、循環的分解は各頂点におけるフラックスのバランスと同値であり、極値の場合はBirkhoff–von Neumann定理とCarathéodoryの定理によって特徴づけられる。2次元では、離散Hodge分解と基本サイクルに関するHellyの定理を用いて、完全な特徴づけが与えられる。

ABSTRACT

A cyclic random walk is a random walk whose transition probabilities/rates can be written as a superposition of the empirical measures of a family of finite cycles. This identifies a convex set of models. We discuss the problem of characterization of cyclic random walks in some special cases showing that it is related to several remarkable and classical results. In particular we introduce the notion of balanced measure and show that a translation invariant random walk on $\mathbb Z^d$ is cyclic if and only if its transition probability is balanced. The characterization of the extremal elements is obtained using the Carathéodory's Theorem of convex analysis. We then show that a random walk on a finite set is cyclic if and only if at every vertex the outgoing flux of the transition graph is equal to the ingoing flux. The extremal elements are characterized by the Birkhoff-Von-Neumann Theorem. Finally we consider the discrete torus and discuss when the cyclic decomposition can be done using only homotopically trivial cycles or elementary cycles associated to edges and two dimensional faces. While in one dimension this is equivalent to require some geometric properties of a discrete vector field associated to the transition rates, in two dimension this is not the case. In particular we give a simple characterization of the polyhedron of the rates admitting a cyclic decomposition with elementary cycles. The proof is based on a discrete Hodge decomposition, elementary homological algebra and the Helly's Theorem of convex analysis. Finally we discuss a natural discretization procedure of smooth divergence free continuous vector fields and an application to random walks in random environments.

研究の動機と目的

• 有限サイクルの重ね合わせとして分解可能なランダムウォークを特徴づけること。これは、深い確率論的・幾何的性質と関連している。
• 並進不変ランダムウォークが$ζ^d$上で循環的であるための必要十分条件を、バランスされた測度の概念を用いて確立すること。
• 有限グラフに対してはフラックスバランスを用い、離散トーラスに対してはホモトピー的に自明なサイクルまたは基本サイクルを用いて、特徴づけを拡張すること。
• 離散Hodge分解と凸幾何学を用いて、このような分解が存在するかを判定する幾何的・代数的枠組みを提供すること。
• 特に周期的または滑らかな発散なしベクトル場を持つ場合の、確率的環境におけるランダムウォークへの応用を提示すること。

提案手法

• 原点を通る任意の超平面に対して、ジャンプベクトルの各半空間への期待距離が等しいという、バランスされた測度の概念を導入する。
• Carathéodoryの定理を用いて、$ζ^d$ 上の極値の循環的ランダムウォークを、最大$ d+1 $個のサイクルの凸結合として特徴づける。
• Birkhoff–von Neumann定理を用いて、有限グラフ上の極値の循環的分解を、一様重みをもつサイクルサポートの凸結合として特徴づける。
• 離散Hodge分解を用いて、遷移率をポテンシャル関数に関連させ、$\phi = d\psi$を満たす離散ベクトル場$\phi$を定義する。
• 凸解析におけるHellyの定理を用いて、2次元トーラス上での基本サイクルへの分解が許容されるレートの多面体を特徴づける。
• ラティス上での区分定数ポテンシャルによる滑らかな発散なしベクトル場の離散化を提案し、フラックスをゼロに保ち、循環的分解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並進不変ランダムウォークが$ζ^d$上で循環的であるのはいつか？ そして、ジャンプ分布にどのような条件が要求されるか？
• RQ2 有限グラフ上で、遷移レートにどのような条件が課されるとランダムウォークが循環的分解を許容するか？
• RQ3 離散トーラス上での循環的分解を、エッジおよび面に関連する基本サイクルに制限できるか？ その条件は何か？
• RQ4 離散Hodge分解は、2次元において遷移レートと循環的分解の存在の間にどのように関係するか？
• RQ5 確率的環境におけるランダムウォークが、循環的分解を用いてクエンチド中心極限定理を満たすのはどのような条件下か？

主な発見

• 並進不変ランダムウォークが$ζ^d$上で循環的であるための必要十分条件は、ジャンプ分布がバランスされていること、すなわち原点を通る任意の超平面に対して、ジャンプベクトルの両側への期待距離が等しいことである。
• $ζ^d$ 上の極値の循環的ランダムウォークは、Carathéodoryの定理により、最大$ d+1 $個のベクトルにのみ支持が集中する遷移確率を持つものに限られる。
• 有限グラフ上では、マーカフ連鎖が循環的であるための必要十分条件は、すべての頂点で重み付き流出量と流入量が等しいこと、すなわち遷移グラフがバランスされていることである。
• 有限グラフ上の極値の循環的分解はBirkhoff–von Neumann定理により特徴づけられ、一様重みをもつサイクルサポートに対応する。
• 2次元離散トーラス上では、基本サイクルへの分解が許容されるレートの集合は、離散Hodge理論とHellyの定理を用いて完全に特徴づけられる多面体である。
• レート行列が基本サイクルへの循環的分解を許容するための十分条件は、ポテンシャル関数の双対グラフの直径を、レート行列の対称部分が上回ることである。