[論文レビュー] Whittaker functions on metaplectic covers of GL(r)

Anna Puskás|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$GL(r)$ のメタプレクティック被覆におけるWhittaker関数の2つの組合せ的構成——Weyl群の和とクリスタル基底——を結びつけることで、Tokuyamaの定理のメタプレクティック版を確立する。メタプレクティックDemazureおよびDemazure-Lusztig作用素を用いて、Iwahori-Whittaker関数のクリスタル的記述を証明し、Pieri則の類似物が存在しないメタプレクティック設定において、それを補う精緻な帰納的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper establishes a combinatorial link between different approaches to constructing Whittaker functions on a metaplectic group over a non-archimedean local field. We prove a metaplectic analogue of Tokuyama's Theorem and give a crystal description of polynomials related to Iwahori-Whittaker functions. The proof relies on formulas of metaplectic Demazure and Demazure-Lusztig operators, proved previously in joint work with Gautam Chinta and Paul E. Gunnells.

研究の動機と目的

• メタプレクティックWhittaker関数の2つの異なる組合せ的構成——Weyl群の和とクリスタルグラフの和——を統一的な枠組みで結びつけること。
• 古典的な組合せ的恒等式を$GL(r)$の高次被覆へと拡張する、メタプレクティック版Tokuyamaの定理を提供すること。
• Iwahori-Whittaker関数に関連する多項式のクリスタル理論的記述を提示すること。
• Pieri則の類似物がメタプレクティック設定に存在しないという欠如を、証明の帰納的構造の精緻化によって克服すること。
• 作用素論的および組合せ的道具を用いて、既存のCasselman-Shalika型公式をメタプレクティック設定で統一的かつ一般化すること。

提案手法

• Whittaker関数の構成を解釈するために、ChintaおよびGunnellsとの共同作業で開発された、メタプレクティックDemazureおよびDemazure-Lusztig作用素を用いる。
• 型$A$の最高重量クリスタルとその分岐性質を用いて、クリスタルに基づく公式をより小さなDemazureクリスタルに関連付ける。
• Pieri則に依存しない「長さの長い語の開始部分」に基づく精緻な帰納戦略を適用する。
• 変数へのChinta-Gunnells作用を用いて、特に$x_r^n$および$τ$作用を含むメタプレクティック作用素を定義・計算する。
• 生成関数および対称式の明示的代数的操作を用い、$h^{(\nu,\nu_0)}$および$ρ$-シフト項の使用を含む。
• 対称性条件の簡略化にLemma 8およびClaim 5に依拠し、$P_{k,u}(\mathbf{x})$の$τ$-像の明示的計算により、$\tau_{r-1}$に関する不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weyl群の和とクリスタル基底による2つのメタプレクティックWhittaker関数の組合せ的構成を、統一的枠組みでどのように結びつけることができるか？
• RQ2 $GL(r)$および$n$重被覆の文脈において、Tokuyamaの定理のメタプレクティック版とは何か？
• RQ3 Pieri則の類似物が存在しないメタプレクティック設定において、帰納的構造の精緻化によってそれを回避できるか？
• RQ4 メタプレクティックDemazure-Lusztig作用素は、メタプレクティック群上のIwahori-Whittaker関数の構造をどのように符号化するか？
• RQ5 Chinta-Gunnells作用は、Whittaker関数多項式の対称性および不変性の性質を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、Theorem 2において、メタプレクティック版Tokuyamaの定理を証明し、Weyl群の和とクリスタルグラフの和を結ぶ組合せ的恒等式を、メタプレクティック設定で確立する。
• Iwahori-Whittaker関数に関連する多項式のクリスタル的記述を提供し、それらが分岐則を介してDemazureクリスタルから生じることを示す。
• 証明は、$x_r^n \cdot f_{a,\Gamma_0}$が$\sigma_{r-1}$の作用に関して不変であることを示しており、生成関数の対称性にとって不可欠である。
• 計算により、$P_{k,u}(\mathbf{x})$が恒等式 $$ P_{k,u}(\mathbf{x}) = \frac{1 - v{\mathbf{x}}^{-n\alpha}}{{\mathbf{x}}^{-n\alpha} - 1} \cdot x_r^{nk+u+n-1} + \frac{1 - v{\mathbf{x}}^{n\alpha}}{{\mathbf{x}}^{n\alpha} - 1} \cdot \sigma(x_r^{nk+u+n-1}) $$ を満たすことが判明し、$\sigma_{r-1}$に関する不変性が確認される。
• 結果として、Whittaker関数多項式が、メタプレクティック群の構造に要求されるように、Weyl群の元$\sigma_{r-1}$の作用に関して対称であることが確認される。