[論文レビュー] Wiener Index and Remoteness in Triangulations and Quadrangulations

Éva Czabarka, Peter Dankelmann+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Graph theory and applications参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、κ-連結な単純三角形分割および四角形分割におけるワイナー指数と遠心度の漸近的上限を確立し、3 ≤ κ ≤ 5 の三角形分割ではワイナー指数が $rac{1}{6 au}n^3 + O(n^{5/2})$ 以下であることを証明している。四角形分割では 2 ≤ κ ≤ 3 が成り立つ。これらの上限に一致する明示的なグラフ族を構成し、それらが最大ワイナー指数を達成すると予想している。5-連結三角形分割では n ≤ 32、4-連結では n ≤ 22 まで広範な計算的検証が行われている。

ABSTRACT

Let $G$ be a a connected graph. The Wiener index of a connected graph is the sum of the distances between all unordered pairs of vertices. We provide asymptotic formulae for the maximum Wiener index of simple triangulations and quadrangulations with given connectivity, as the order increases, and make conjectures for the extremal triangulations and quadrangulations based on computational evidence. If $\overline{\sigma}(v)$ denotes the arithmetic mean of the distances from $v$ to all other vertices of $G$, then the remoteness of $G$ is defined as the largest value of $\overline{\sigma}(v)$ over all vertices $v$ of $G$. We give sharp upper bounds on the remoteness of simple triangulations and quadrangulations of given order and connectivity.

研究の動機と目的

• 頂点数 n が増加する際、κ-連結な単純三角形分割および四角形分割におけるワイナー指数の最大値を特定すること。
• n と連結性 κ の観点から、ワイナー指数の鋭い漸近的上限を確立すること。
• 導出された上限に一致する三角形分割および四角形分割の明示的構成を提示・分析すること。
• 計算的証拠に基づき、これらの構成が極値ワイナー指数および遠心度を実現すると予想すること。
• 平面的で高連結なグラフにおいて、遠心度およびワイナー指数を最大化するグラフの構造を調査すること。

提案手法

• 頂点間距離分布および近傍成長の技術を用いた、グラフ理論的・組合せ的技法によるワイナー指数の漸近的上限の導出。
• n を κ で割った剰余類に基づく、κ-連結な三角形分割および四角形分割の特定の族の構成。これらの族のワイナー指数に閉形式の式を適用。
• 連結性および平面的グラフにおける構造的制約を分析するため、(w,A)-ファンおよび辺の縮約の概念を用いる。
• 小規模なグラフ（n ≤ 32）のワイナー指数および遠心度を計算し、予想の検証と極値構造の同定を行う。
• 頂点の中心度および平均距離（σ(v)）の分析により、グラフの遠心度を定義・境界づけ、すべての頂点 v における σ(v) の最大値として定義。
• オイラーの公式および辺数制約を含む、既知の平面的グラフ、三角形分割、四角形分割に関する結果を活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3 ≤ κ ≤ 5 の場合、κ-連結な単純三角形分割の順序 n における漸近的最大ワイナー指数は何か？
• RQ2 κ-連結な三角形分割において、$ \frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ の上限が漸近的に達成可能か？
• RQ3 κ-連結な単純三角形分割および四角形分割における最大遠心度は何か？ どのグラフがそれを達成するか？
• RQ4 n mod κ に基づく提案された三角形分割および四角形分割の構成は、極値ワイナー指数および遠心度を実現するか？
• RQ5 十分に大きな n に対して、κ-連結な三角形分割および四角形分割における最大ワイナー指数は一意に実現されるか？

主な発見

• 任意の κ-連結な単純三角形分割（順序 n）のワイナー指数は、3 ≤ κ ≤ 5 に対して漸近的に $ \frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 以下に抑えられる。
• 4-連結な単純三角形分割では、n ≡ 2 \pmod{4} のとき、構成された族がワイナー指数 $ \frac{n^3}{24} + \frac{n^2}{4} + \frac{n}{3} - 2$ を達成し、漸近的上限に一致する。κ=4 の場合、これがタイトであることを示している。
• 5-連結な単純三角形分割では、n ≡ r \pmod{5}（r ∈ {0,1,2,3,4}）のとき、構成された族がワイナー指数 $ \frac{n^3}{30} + \frac{3n^2}{10} - \frac{23n}{15} + c$ を達成し、漸近的上限が κ=5 に対してタイトであることを示している。
• 遠心度は、構成された族における特定の頂点で最大化され、それらのグラフがワイナー指数を最大化すると予想されている。
• 計算的検証により、4-連結三角形分割では n ≤ 22、5-連結三角形分割では n ≤ 32 まで、予想される極値グラフが確認されている。
• 四角形分割では、十分に大きな n に対して最大ワイナー指数および遠心度が一意に実現されると予想されており、n mod 2 に基づく構成により、κ=2 の場合、$ \frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ の境界が達成されている。