[論文レビュー] Wilf classification of triples of 4-letter patterns

David Callan, Toufik Mansour+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、242個の4文字の置換パターンの三重組のウィルフクラスを分類し、その数え上げ列の最初の16項が一致するならばそれらは同一であることを証明することで、正確なウィルフ同値性を確立した。36個のこれまで未計数であった三重組の母関数を、組合せ的分解、カーネル法、挿入符号化、双対写像を用いて計算した。これにより、パターン回避の数え上げ分野における長年の問題が解決された。

ABSTRACT

We determine all 242 Wilf classes of triples of 4-letter patterns by showing that there are 32 non-singleton Wilf classes. There are 317 symmetry classes of triples of 4-letter patterns and after computer calculation of initial terms, the problem reduces to showing that counting sequences that appear to be the same (agree in the first 16 terms) are in fact identical. The insertion encoding algorithm (INSENC) accounts for many of these and some others have been previously counted; in this paper, we find the generating function for each of the remaining 36 triples and it turns out to be algebraic in every case. Our methods are both combinatorial and analytic, including decompositions by left-right maxima and by initial letters. Sometimes this leads to an algebraic equation for the generating function, sometimes to a functional equation or a multi-index recurrence that succumbs to the kernel method. A particularly nice so-called cell decomposition is used in one case and a bijection is used for another.

研究の動機と目的

• 4文字の置換パターン三重組のすべてのウィルフクラスを特定し、完全な分類問題を解決すること。
• 2つの4文字パターン三重組の数え上げ列が最初の16項で一致するならば、それらはウィルフ同値であることを証明すること。
• 挿入符号化（INSENC）などの先行手法ではカバーされなかった36個の残りの三重組の母関数を計算すること。
• これらの36個のこれまで未計数の母関数が、高度な解析的・組合せ的技法を用いて代数的であることを確立すること。
• 32個の非単一クラスを含む全242ウィルフクラスの完全な列挙を提供することにより、317の対称性クラスの分類を完了すること。

提案手法

• 4文字パターン三重組の317の対称性クラスそれぞれについて、数え上げ列の最初の16項を計算機的枚挙によって算出した。
• 38個の三重組に対して挿入符号化アルゴリズム（INSENC）を適用し、規則的な構造を活用して母関数を導出した。
• 左・右最大値および初期文字に基づく組合せ的分解から生じる関数方程式を、カーネル法を用いて解いた。
• Dyckパスに基づくパーツ分解を用いて、特に1243および関連パターンを避ける構造をモデル化した。
• カタラン数およびナラヤナ数を含む双対写像と母関数の恒等式を適用し、閉形式を得た。
• 代数的変形と記号計算を用いて、再帰的または関数的方程式（ネストされた平方根や平方根を含む）から母関数を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの4文字パターン三重組の数え上げ列が最初の16項で一致するならば、それらはウィルフ同値であるか？
• RQ2 挿入符号化や先行結果では未カバーの36個の4文字パターン三重組それぞれの母関数は何か？
• RQ3 これらの36個の三重組の母関数は、閉形式の代数的表現で表せるか？
• RQ4 Dyckパス、パーツ分解、左・右最大値などの組合せ的構造は、これらのパターン三重組の母関数の背後にあるものか？
• RQ5 初期文字や極値要素などの対称性や構造的性質は、母関数の形にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 4文字パターン三重組のウィルフクラスは正確に242個であり、そのうち210個は単一クラス、32個は非単一クラスである。
• 本稿では、数え上げ列の最初の16項が一致するならばウィルフ同値であることを証明した。これにより、下界と上界のギャップが埋められた。
• これまで未計数であった36個の三重組の母関数は、すべて代数的であることが明示的な導出により確認された。
• 三重組 {1243,1342,1423} の母関数は、$ F_T(x) = \frac{3-2x-\sqrt{1-4x}-\sqrt{2-16x+4x^{2}+(2+4x)\sqrt{1-4x}}}{2(1-\sqrt{1-4x})} $ であり、{1324,1342,1423} および {1234,1342,1423} と同じである。
• 三重組 {1342,2143,4123} の母関数は、$ \frac{1-5x+8x^{2}-5x^{3}+3x^{4}}{(1-x)^{2}(1-4x+3x^{2}-x^{3})} $ であり、カーネル法と関数方程式を用いて導出された。
• Dyckパスにラベルされた谷（低谷・高谷）に基づく新しいパーツ分解を用いて、{1243,1342,1423} の母関数を導出し、$ M(x,y,z) $（半長、低谷、高谷を変数に持つDyckパスの母関数）を含む複雑な有理式が得られた。