[論文レビュー] Wilf Equivalence for the Charge Statistic

Kendra Killpatrick|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、置換上の主要指数とチャージ統計量の間の全単射を確立し、チャージのウィルフ同値性が主要指数のウィルフ同値性を示すことを証明する。ドコスらの提唱した、2の累乗に関する主要指数に関する予想を解決し、$ n = 2^k - 1 $ のとき、321を避ける置換における主要指数の母関数は、定数項を除きすべての正の $ q $ のべきの係数が偶数であることを示している。

ABSTRACT

Savage and Sagan have recently defined a notion of st-Wilf equivalence for any permutation statistic st and any two sets of permutations $Π$ and $Π'$. In this paper we give a thorough investigation of st-Wilf equivalence for the charge statistic on permutations and use a bijection between the charge statistic and the major index to prove a conjecture of Dokos, Dwyer, Johnson, Sagan and Selsor regarding powers of 2 and the major index.

研究の動機と目的

• 置換クラスにおけるチャージのウィルフ同値性を調査し、特に $ S_3 $ において、st-ウィルフ同値性の枠組みを拡張すること。
• 置換変換 $ f $ を通じてチャージ統計量と主要指数の間に接続を確立し、$ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ を示すこと。
• ドコス、ドワーラー、ジョンソン、サーガン、セルサーが提起した予想を解決すること。この予想は、$ n = 2^k - 1 $ における321を避ける置換の主要指数母関数の係数がすべて偶数であるというものである。
• ロビンソン＝シェンステッド対応と標準ヤング盤の性質を用いて、チャージと主要指数の分布を分析すること。

提案手法

• 変換 $ f(\pi) = ((\pi^r)^c)^{-1} $ を定義し、置換から置換への写像であり、$ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ を満たすことを示す。
• ロビンソン＝シェンステッド対応を用いて、321を避ける置換を、特に1行および2行の標準ヤング盤のペアに結びつける。
• $ 2^k - 1 $ のサイズの2行ヤング盤に対して、全単射 $ \phi_{2^k - 1} $ を構成し、このような盤の数が偶数であることを示し、母関数における偶数の個数を示す。
• ロビンソン＝シェンステッドにおいて同じ $ P $-盤をもつ置換は同じチャージ値を持つことを利用し、チャージ値ごとに置換をグループ化できる。
• 変換 $ f $ の対称性を活用し、321を避ける置換を保ち、主要指数をチャージに写像するため、統計量間の結果を移行できる。
• 321を避ける置換のうち、チャージが0であるものの数が1つであることを証明し、他のすべてのチャージ値は偶数回出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $ 2^k - 1 $ の321を避ける置換における主要指数母関数は、$ q $ のすべての正のべきの係数が偶数であるか？
• RQ2 チャージ統計量を用いて、特に主要指数と関連して、置換クラスにおけるウィルフ同値性の結果を証明できるか？
• RQ3 サイズ $ 2^k - 1 $ の321を避ける置換におけるチャージ統計量の分布はいかなるものか？
• RQ4 変換 $ f $ は、置換クラス全体を通して主要指数とチャージ統計量の関係をどのように定義するか？

主な発見

• 変換 $ f $ は $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ を満たし、主要指数とチャージ統計量の間の直接的な関連を確立する。
• $ n = 2^k - 1 $ のとき、チャージが0である321を避ける置換の数は正確に1つであり、これは恒等置換に一致する。
• すべての $ i \geq 1 $ に対して、チャージ母関数 $ Ch_{2^k - 1}(321; q) $ の $ q^i $ の係数は偶数である。
• サイズ $ 2^k - 1 $ の2行標準ヤング盤の数は偶数であり、これはこの集合に固定点のない対合 $ \phi_{2^k - 1} $ が存在することに起因する。
• ドコス、ドワーラー、ジョンソン、サーガン、セルサーの予想——$ n = 2^k - 1 $ における321を避ける置換の主要指数母関数の $ i \geq 1 $ の係数がすべて偶数である——は、真であると証明された。
• 全単射 $ f $ を通じて、チャージから主要指数への結果の移行がなされ、321を避ける性質を保ち、主要指数をチャージに写像する。