[論文レビュー] Wilson Action of Lattice Gauge Fields with An Additional Term from Noncommutative Geometry

Jian S. Dai, Xing-Chang Song|ArXiv.org|Jan 26, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換幾何学から導かれた新しい格子ゲージ理論作用を提示する。格子上での微分構造（一般化されたディラック作用素とウェッジ積を介して定義）は、標準的なウィルソン作用に追加項を加えた古典的作用を導く。この追加項は、非ユニタリなリンク変数および面積を取らないループに起因し、ユニタリティが成立する場合にのみ消える。この項は、格子上の誘導された計量に幾何的効果をもたらし、コンネスの距離公式における非ユニタリティの幾何的帰結を明らかにする。

ABSTRACT

Differential structure of lattices can be defined if the lattices are treated as models of noncommutative geometry. The detailed construction consists of specifying a generalized Dirac operator and a wedge product. Gauge potential and field strength tensor can be defined based on this differential structure. When an inner product is specified for differential forms, classical action can be deduced for lattice gauge fields. Besides the familiar Wilson action being recovered, an additional term, related to the non-unitarity of link variables and loops spanning no area, emerges.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学の原則を用いて、格子上に微分幾何的枠組みを構築すること。
• 一般化されたディラック作用素とウェッジ積を介して、離散的格子上でのゲージポテンシャルおよび場強度テンソルを定義すること。
• 標準的なウィルソン作用に追加の項を含む、格子ゲージ理論の古典的作用を導出すること。
• 格子ゲージ理論におけるリンク変数の非ユニタリティが及ぼす幾何的および物理的意味を調査すること。
• 特に第一順序条件を含めたコンネスの公理系に従った数学的整合性を評価すること。

提案手法

• 形式的偏微分と基底1-形式 $\chi^\mu_\pm$ を用いて、格子上に階数付き微分代数を構築する。
• 幾何的平方根条件 $\mathcal{D}^2 \sim \mathbf{1}$ を満たし、インデックスがゼロであるフレドホルム作用素である格子上のディラック作用素 $\mathcal{D}$ を定義する。
• ゲージリンク変数 $U^\pm_\mu$ を用いて、ゲージ変換および対合と整合性を持つ共変微分 $\nabla$ を導入する。
• 微分形式に内積を定義し、場強度テンソルのトレースを用いて古典的作用を計算する。
• 作用を $S[U] = S_W[U] + S_{NU}[U]$ として計算し、$S_{NU}[U]$ は非ユニタリなループに起因する新たな項である。
• コンネスの距離公式を用いて、非ユニタリなリンク変数が格子上の誘導計量に与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学を用いて、格子上に一貫した微分構造を定義する方法は何か？
• RQ2 非可換幾何的枠組みから導かれる場合、格子ゲージ理論の古典的作用の形は何か？
• RQ3 ウィルソン項を超える追加項の起源と物理的意味は何か？
• RQ4 リンク変数の非ユニタリティは、コンネスの距離公式を通じて格子上の誘導計量にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非可換幾何学の第一順序公理が離散的格子上にどの程度成立するか。また、格子間隔はその成立にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 格子ゲージ理論の古典的作用は、標準的なウィルソン作用に加えて、追加項 $S_{NU}[U]$ を含む形に拡張される。この項はリンク変数がユニタリである場合にのみ消える。
• 追加項は、面積を取らないウィルソンループ、例えば $\Pi^{\pm\pm}_{\mu\nu}(x)$ に起因し、非ユニタリティを符号化する行列 $S$ のトレースに比例する。
• 非ユニタリなリンク変数は、格子上の誘導計量を変更する。1次元では、$d_{(-i)\nabla}(x,x+k) = \sum_{i=0}^{k-1} 1/|U^+(x+i)|$ となり、標準的なユークリッド距離から逸脱する。
• 第一順序公理 $[[\mathcal{D},f],g] = 0$ の破れは $\mathcal{O}(a)$ であることが示され、連続極限では消える。これは、$[[\mathcal{D},f],g] = \mathcal{O}(a)$ という修正された第一順序条件が物理的に許容可能であることを示唆する。
• ディラック作用素 $\mathcal{D}$ は $n=1,2$ の場合に格子上でユークリッド計量を誘導する。幾何的整合性が確認される。
• この構成は数学的にきわめて厳密であり、フレドホルム性質を満たし、物理的平方根条件の下でステガーディディラック作用素の解釈が可能である。