[論文レビュー] Wind Finslerian structures: from Zermelo's navigation to the causality of spacetimes

Erasmo Caponio, Miguel Ángel Javaloyes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Differential Geometry Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、指示関数が原点を含まない場合を許容するFinslerおよびKropina計量の一般化として、風を伴うFinsler構造を導入する。これにより、任意の時間に依存しない風下でのZermeloのナビゲーション問題と、非ゼロのキリングベクトル場を持つ時空（SSTK時空）の因果的構造を統一的にモデル化できる。主な貢献は、最適制御（ナビゲーション）と時空因果的構造の間の双対性であり、2つの円錐Finsler計量$F$と$F_l$を介して実現され、両者において因果的未来、ホライズン、測地線の共形不変記述が可能となる。

ABSTRACT

The notion of wind Finslerian structure is developed; this is a generalization of Finsler metrics where the indicatrices at the tangent spaces may not contain the zero vector. In the particular case that these indicatrices are ellipsoids, called here wind Riemannian structures, they admit a double interpretation which provides: (a) a model for classical Zermelo's navigation problem even when the trajectories of the moving objects (planes, ships) are influenced by strong winds or streams, and (b) a natural description of the causal structure of relativistic spacetimes endowed with a non-vanishing Killing vector field (SSTK splittings), in terms of Finslerian elements. These elements can be regarded as conformally invariant Killing initial data on a partial Cauchy hypersurface. The wind Finslerian structure is described in terms of two (conic, pseudo) Finsler metrics, one with a convex indicatrix and the other with a concave one. However, the spacetime viewpoint for the wind Riemannian case gives a useful unified viewpoint. A thorough study of the causal properties of such a spacetime is carried out in Finslerian terms. Randers-Kropina metrics appear as the Finslerian counterpart to the case of an SSTK when the Killing vector field is either timelike or lightlike. Among the applications, we obtain the solution of Zermelo's navigation with arbitrary stationary wind, metric-type properties (distance-type arrival function, completeness, existence of minimizing, maximizing or closed geodesics), as well as description of spacetime elements (Cauchy developments, black hole horizons) in terms of Finslerian elements in Killing initial data. A general Fermat's principle of independent interest for arbitrary spacetimes, as well as its applications to SSTK spacetimes and Zermelo's navigation, are also provided.

研究の動機と目的

• 原点を含まない指示関数を許容するFinslerおよびKropina計量の一般化として、風Finsler構造を構築し、非対称かつ風に影響を受ける力学的系のモデル化を可能にする。
• Zermeloのナビゲーション問題（風下での最適経路探索）と、時間的キリングベクトル場を持つ時空（SSTK時空）の因果的構造との間の双対性を確立する。
• 時空因果的要素（例：因果的発展、ホライズン、光的測地線）を、Cauchy超曲面上のキリング初期データから導かれるFinsler的対象を用いて記述する。
• Fermatの原理を任意の時空へ一般化し、SSTK時空およびZermeloナビゲーションに適用することで、極値経路の変分的特徴づけを導出する。
• 風Riemann計量およびRanders-Kropina構造における測地線の完全性、最小化・最大化曲線の存在を完全に特徴づける。

提案手法

• ベクトル空間上に風ミンコフスキー構造を定義し、2つの円錐Finsler計量$F$（凸、正同次）および$F_l$（凹、Lorentz型）を用いる。対応する定義域を$A$および$A_l$とする。
• 多様体上に局所的な風ミンコフスキー構造の和として風Finsler構造を定義し、対応する風曲線、風長$\ell_F$、風球体$B^\pm_\Sigma$を導入する。
• F-許容曲線上の変分原理を用いて測地線を特徴づけ、到着時間関数$T$の臨界点として極値をとる前測地線を定義する。
• 風測地線と円錐擬Finsler計量$F$および$F_l$の測地線との間の関係を確立し、適切な正則性のもとで風測地線が$F$-測地線に一致することを示す。
• 任意の時空に対して一般化されたFermatの原理を構築し、極値到着曲線（最小化または最大化時間）が関連するLorentz-Finsler構造における光的測地線に一致することを証明する。
• Fと$F_l$の双対性を用いて、Cauchy超曲面上のFinsler的データから、時空因果的性質（例：歴史的順序、グローバル双曲型）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時間に依存しない風下におけるZermeloのナビゲーション問題を、原点を含まない指示関数を持つFinsler幾何学を用いてどのように再定式化できるか。
• RQ2 風Finsler構造は、SSTK時空の因果的構造をどのように共形不変的に記述するか。
• RQ3 風Finsler構造$\Sigma$の測地線と、関連する円錐Finsler計量$F$および$F_l$の測地線との間の関係は何か。
• RQ4 Fermatの原理を任意の時空へ一般化する方法は何か。また、SSTK時空およびZermeloナビゲーションへの適用では、どのように機能するか。
• RQ5 風Riemann計量が最小化、最大化、または閉じた測地線をもつための条件は何か。また、それらは時空の因果的発展およびホライズンとどのように関係するか。

主な発見

• 風Finsler構造は、2つの円錐Finsler計量$F$（凸、Finsler型）および$F_l$（凹、Lorentz型）によって完全に特徴づけられ、$F_l$はSSTK時空の因果的構造を符号化している。
• 本稿では一般化されたFermatの原理を証明した：Zermeloナビゲーションにおける極値到着曲線とSSTK時空における光的測地線は、$F$と$F_l$の双対性のもとで等価である。
• 風Riemann計量（楕円体的指示関数）に対しては、完全性、最小化・最大化測地線の存在、およびHopf-Rinow型性質を確立した。
• SSTK時空における因果的段階（歴史的、因果的、非因果的）は、$F$に付随する分離関数$d_F$を用いて特徴づけられ、Randers-Kropina計量に対して連続性および正則性の結果が得られた。
• 時空の因果的発展および$K$-ホライズンは、キリング初期データから導かれるFinsler的要素を用いて記述され、これら因果的境界の新しい幾何的解釈が得られた。
• 本稿では、$F$-距離関数を用いたグローバル双曲型の鋭い基準を提示し、適切な正則性条件下でRanders-Kropina分離関数の微分可能性を確立した。