[論文レビュー] Wishart Processes and Wishart Distributions: An Affine Processes Point of View

Eberhard Mayerhofer|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ウィシャル過程および分布の包括的なアフィン過程フレームワークを確立し、非中心ウィシャル分布が存在するのは形状パラメータ $ p $ が $ p \notin \big(0, \frac{d-1}{2}\big) $ を満たす場合に限ることを証明している。非中心性パラメータ $ \boldsymbol{\nu} $ は $ \operatorname{rank}(\boldsymbol{\nu}) \leq 2p + 1 $ という制約を受ける。本研究は古典的Gindikin集合を超えた存在条件を拡張し、対称および非対称の錐上におけるウィシャル力学の統一的確率微分法的基盤を提供する。特にビンバーグ錐や低ランク多様体上での新規構成がなされている。

ABSTRACT

These lecture notes provide an introduction to the theory of Wishart distributions and Wishart processes, particularly what concerns their existence and their realizations as solutions of Wishart SDEs. The material is based on recent developments in the theory of affine processes and related fields.

研究の動機と目的

• アフィン過程フレームワークを用いてウィシャル過程および分布の理論的基盤を統一的かつ拡張すること。
• 形状および非中心性パラメータに関する必要十分条件を導出することにより、非中心ウィシャル分布の存在に関する未解決問題を解消すること。
• 非対称の錐（例えばビンバーグ錐）上に新しいウィシャル過程を構築し、その確率的ダイナミクスを調査すること。
• ウィシャル過程におけるドリフトパラメータ制約の限界を、特に低ランク状態空間に制限された場合に明らかにすること。
• ウィシャル半マルティンゲールが凸でない正定値錐の部分集合上に存在できることを示し、古典的なサポート仮定に挑戦すること。

提案手法

• 正定値行列の錐 $ \overline{S}_d^+ $ 上での確率微分方程式（SDE）を用いて、ウィシャル過程をアフィン半マルティンゲールとして形式化する。
• 平方完成および行列正規積分を用いてウィシャル分布のラプラス変換を導出し、式 $ \mathbb{E}[e^{-\operatorname{tr}(u\Xi)}] = \frac{e^{-\operatorname{tr}(u(I + \sigma u)^{-1}\omega)}}{\det(I + \sigma u)^p} $ に至る。
• 対称錐上のアフィン過程理論を応用し、ベクトル値ブラウン運動による状態空間の新規分解を用いて、$ K \subset S_3^+ $ のビンバーグ錐上でのウィシャルSDEを構築する。
• 行列SDEにおけるYamada-Watanabe定理を用い、適切な可積分性および非退化性条件の下で解の弱存在性および一意性を確立する。
• 非中心性行列 $ \omega $ のランク条件およびスペクトル解析を用いて、境界への到達回避およびドリフトパラメータ制約を分析する。
• 低ランク多様体 $ D_m = \{ u \in \overline{S}_d^+ \mid \operatorname{rank}(u) \leq m \} $ 上にウィシャル過程を構築し、それが完全な正定値行列錐に拡張できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状パラメータ $ p $ および非中心性行列 $ \omega $ がどのような条件下で非中心ウィシャル分布 $ \Gamma(p, \omega; \sigma) $ が存在するか。
• RQ2 $ p < \frac{d-1}{2} $ の場合、非中心性パラメータ $ \omega $ に課される正確なランク制約は何か。また、その制約は分布の存在にどのように影響するか。
• RQ3 非対称の錐（例えばビンバーグ錐）上にウィシャル過程を構築できるか。そのダイナミクスを支配するSDEは何か。
• RQ4 低ランク多様体 $ D_m $ 上のウィシャル過程がなぜ完全な正定値行列錐 $ \overline{S}_d^+ $ に拡張できないのか。これはアフィン過程の構造にどのような意味を持つのか。
• RQ5 アフィン過程フレームワークが、Gindikin集合やラプラス変換による特徴付けと関連して、古典的ウィシャル理論をどのように統一的かつ一般化するのか。

主な発見

• 非中心ウィシャル分布 $ \Gamma(p, \omega; \sigma) $ は、かつては $ p \in \Lambda_d = \{0, \frac{1}{2}, \dots, \frac{d-1}{2}\} \cup \big(\frac{d-1}{2}, \infty\big) $ のときに限り存在し、古典的Gindikin条件を拡張する。
• $ p < \frac{d-1}{2} $ の場合、非中心性パラメータ $ \omega $ は $ \operatorname{rank}(\omega) \leq 2p + 1 $ を満たす必要がある。これはLetacとMassam [17] によって確認され、かつての予想から洗練された結果である。
• 5次元のビンバーグ錐 $ K \subset S_3^+ $ 上にウィシャル過程を構築でき、そのダイナミクスはSDE $ dX_t = (\sqrt{X_t} dW_t Q + Q^T dW_t^T \sqrt{X_t}) + 2p Q^T Q dt $ によって支配され、ここで $ p = 3/2 $ である。
• 非凸部分集合 $ D_m = \{ u \in \overline{S}_d^+ \mid \operatorname{rank}(u) \leq m \} $ 上にウィシャル半マルティンゲールが存在し、ドリフトパラメータ $ p = m/2 $ の場合、$ p < \frac{d-1}{2} $ であっても成立する。これは古典的ドリフト条件に反する。
• これらの低ランク過程は、$ \overline{S}_d^+ $ の凸包に拡張できないため、$ \overline{S}_d^+ $ 上の標準的ウィシャル過程から生じない、追加のウィシャル半マルティンゲールの存在を示唆している。
• ウィシャル分布のラプラス変換は $ \mathbb{E}[e^{-\operatorname{tr}(u\Xi)}] = \frac{e^{-\operatorname{tr}(u(I + \sigma u)^{-1}\omega)}}{\det(I + \sigma u)^p} $ で与えられ、$ p \in \Lambda_d $ のとき、$ \overline{S}_d^+ $ 上で分布を特徴付ける。