[論文レビュー] WKB and Turning Point Theory for Second Order Difference Equations: External Fields and Strong Asymptotics for Orthogonal Polynomials

Jeffrey S. Geronimo|ArXiv.org|May 11, 2009

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単調な再帰係数をもつ2階差分方程式に対する離散WKB理論および転点理論を構築し、アイルリー関数による近似を用いて、古典的正規直交多項式（ウィルソン、エルミート、ラゲール多項式を含む）の強い漸近展開を可能にする。この手法により、ǫ = 1/n として、O(ǫ) の誤差境界が得られ、離散ランガー変換と外部場解析を用いて転点を越えた解の一致が実現される。

ABSTRACT

A LG-WKB and Turning point theory is developed for three term recurrence formulas associated with monotonic recurrence coefficients. This is used to find strong asymptotics for certain classical orthogonal polynomials including Wilson polynomials.

研究の動機と目的

• 単調な再帰係数をもつ2階差分方程式に、LG-WKBおよび転点理論を拡張すること。
• ウィルソン、エルミート、ラゲール多項式などの古典的正規直交多項式の強い漸近展開を導出すること。
• 漸近近似の誤差境界を O(ǫ) に保証すること、ただし ǫ = 1/n とする。
• 非対角再帰係数が0に収束する場合に生じる特異初期値問題を解消すること。
• 離散ランガー変換と正規直交多項式理論における外部場を結びつけ、楔状領域への解析接続を可能にすること。

提案手法

• 差分方程式を、転点近傍でアイルリー関数解が適用可能な形に変換するため、離散ランガー変換を適応する。
• 再帰係数が t および ǫ に関して有界かつ滑らかになるように、スケーリング変換 x = λǫy + λ1/ǫ を用いる。
• 再帰的解公式における誤差伝播を制御するため、離散版のグロニャルの不等式を適用する。
• 2つのeikonal方程式の根が重なる転点の ǫ1/2 スケールの近傍で、アイルリー関数を用いた近似解を導出する。
• 解を、β(j)(nǫ) および ∆-差分を含む係数を持つグリーン関数に類似した和として表現するため、補助関数 u(1)(n), u(2)(n) および σj(n) を導入する。
• グリーン関数の成長を制御し、一様な誤差制御を保証するために、ワロンスキー積および位相関数 ρ(t,y,ǫ) の漸近解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WKBおよび転点理論を、単調な再帰係数をもつ2階差分方程式にどのように拡張できるか？
• RQ2 正規直交多項式の強い漸近展開に対して、一様な O(ǫ) の誤差境界を構築できる条件は何か？
• RQ3 離散ランガー変換を用いて、外部領域におけるWKB解と、転点近傍におけるアイルリー関数解をどのように一致させられるか？
• RQ4 単調な再帰係数から生じる外部場は、離散ランガー変換におけるポテンシャルとどのように関係するか？
• RQ5 a(nǫ,ǫ) → 0 となる特異初期値問題は、どのように解消され、一貫した漸近一致を可能にするか？

主な発見

• ウィルソン、エルミート、ラゲール、マイクサー、マイクサー＝ポラーツェク、連続的双対ハーサン多項式について、O(1/n) の誤差境界をもつ強い漸近展開が得られた。
• 離散ランガー変換により、転点の O(1) 近傍でアイルリー関数による解が得られ、従来の ǫ1/2 スケールの結果を上回る。
• 誤差境界は複素平面のコンパクト部分集合上で一様であり、位相関数およびワロンスキー積の解析的性質に依存する。
• 特異初期値問題は、成長がグロニャル型の推定で制御された再帰的グリーン関数型の和を用いて解が構成されることで解消された。
• 理論により、外部の初期値問題の解法を必要とせず、自己完結的な強い漸近展開と誤差境界の導出が可能となった。
• 単調な再帰係数の下では、外部場ポテンシャルおよびランガー変換が著しく簡素化され、特に楔への解析接続が可能である場合には顕著である。