[論文レビュー] Worldsheet formulations of gauge theories and gravity

Michael Reisenberger|ArXiv.org|Dec 12, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 54

ひとこと要約

本稿はゲージ理論および重力のワールドシート形式を提案し、初期および最終のグラフ（ループ/グラフ表現）の間を補間する2次元表面（ワールドシート）の和として、量子進化作用素を表現する。U(1)およびSU(2)ゲージ理論の明示的なワールドシート作用素を導出し、格子上のBF理論およびヤン・ミルズ理論を含む。交差点における重みはオイラー特性およびラカ・ウィグナー記号に基づく。これは4次元微分同相変換不変性を明示的に満たす枠組みであり、量子重力に最適である。

ABSTRACT

The evolution operator for states of gauge theories in the graph representation (closely related to the loop representation of Gambini and Trias, and Rovelli and Smolin) is formulated as a weighted sum over worldsheets interpolating between initial and final graphs. As examples, lattice $SU(2)$ BF and Yang-Mills theories are expressed as worldsheet theories, and (formal) worldsheet forms of several continuum $U(1)$ theories are given. It is argued that the world sheet framework should be ideal for representing GR, at least euclidean GR, in 4 dimensions, because it is adapted to both the 4-diffeomorphism invariance of GR, and the discreteness of 3-geometry found in the loop representation quantization of the theory. However, the weighting of worldsheets in GR has not yet been found.

研究の動機と目的

• 4次元微分同相変換不変性を明示的に満たす、量子ゲージ理論および重力の時空的ワールドシート形式の構築を目的とする。
• ループ量子重力において、離散的ワールドシート構造から時空幾何学が生じる可能性の探求を目的とする。
• ワールドシート作用素を介してループ量子化におけるハミルトニアン制約を新たに導出する道筋を提供することを目的とする。
• 2次元ヤン・ミルズ理論のストリングに類似した表現を4次元格子ヤン・ミルズ理論およびBF理論へ一般化することを目的とする。
• ワールドシート枠組みをSU(2)ゲージ理論へ拡張することで、ユークリッド重力のワールドシート経路積分形式を確立することを目的とする。

提案手法

• グラフ基底における進化作用素を、初期および最終のグラフを補間する2次元表面（ワールドシート）の和として表現する。
• ワールドシート成分に、そのオイラー特性およびゲージ群の非可約表現に基づく重みを割り当てる。
• 交差点周辺の3次元球面上の3価グラフから導かれるラカ・ウィグナー記号を用いて、交差要因を計算する。
• ヒートカーネル作用素および強結合展開を用いて、格子BF理論およびヤン・ミルズ理論にワールドシート形式を適用する。
• 位相的および群論的重みを有する彩色された表面への経路積分の写像により、U(1)およびSU(2)理論のワールドシート作用素を導出する。
• プレバンスキー作用素およびラプラス変換を用いて、ワールドシート形式を canonical ループ量子化と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力における進化作用素は、4次元微分同相変換不変性を明示的に満たす2次元ワールドシートの和として再定式化可能か？
• RQ2 格子上におけるSU(2) BF理論およびユークリッドヤン・ミルズ理論の正しいワールドシート作用素は何か？
• RQ3 ワールドシート成分の交差点はフェ Feynman 重みにどのように寄与するか？また、それらはラカ・ウィグナー記号を用いて計算可能か？
• RQ4 ワールドシート形式は、2+1次元重力における既知のポンツァーノ＝レッジモデルを再現可能か？
• RQ5 ワールドシートアプローチは、ループ量子重力におけるハミルトニアン制約の新たな導出を可能にするか？

主な発見

• 連続的U(1)ゲージ理論のワールドシート形式が導出され、フェ Feynman 重みはオイラー特性および交差要因に基づく。
• SU(2)格子BF理論に対して、ワールドシート作用素は単純な成分における(2j+1)^χの積および交差点におけるラカ・ウィグナー記号で与えられる。
• 2+1次元重力（BF理論に同等）のワールドシート形式はポンツァーノ＝レッジモデルを再現し、交差要因は6j記号として計算される。
• SU(2)格子ヤン・ミルズ理論のワールドシート形式は、ヒートカーネル作用素の強結合展開と等価であり、各成分に追加のe^{-j(j+1)(area)/a²}因子が付加される。
• ワールドシート枠組みは、離散的時空幾何学を自然に表現しており、面積および体積演算子はワールドシート成分との交差回数を数えることで作用する。
• この形式は、BF理論とは異なり、交差する表面が相互作用するワールドシート理論として一般相対性理論を再定式化可能である可能性を示唆している。