[論文レビュー] Woronowicz's Tannaka-Krein duality and free orthogonal quantum groups

Sara Malacarne|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンパクト量子群のWoronowiczのTannaka-Krein双対性について、カテゴリに依存しない証明を提供する。有限次元ヒルベルト空間 $H$ のテンソル冪間の演算子の集合から、Hopf $^*$-代数 $\mathbb{C}[G]$ を再構成し、得られる量子群 $G$ の交換子が与えられた演算子と一致することを保証する。主な貢献は、双対性とイデアル商を用いた直接的かつ代数的な量子群の構成であり、自由直交的およびユニタリ量子群へと一般化される。

ABSTRACT

Given a finite dimensional Hilbert space H and a collection of operators between its tensor powers satisfying certain properties, we give a category-free proof of the existence of a compact quantum group G with a fundamental representation U on H such that the intertwiners between the tensor powers of U coincide with the given collection of operators. We then explain how the general version of Woronowicz's Tannaka-Krein duality can be deduced from this.

研究の動機と目的

• コンパクト量子群のWoronowiczのTannaka-Krein双対性を、カテゴリ的言語に依存しない代数的証明を提供すること。
• 有限次元ヒルベルト空間 $H$ のテンソル冪間の演算子の集合から、Hopf $^*$-代数 $\mathbb{C}[G]$ を明示的に再構成すること。
• 構成された量子群 $G$ の表現カテゴリが、与えられた交換子カテゴリと一致することを確立すること。
• 任意の共役をもつリッジド $C^*$-テンソルカテゴリ、特に有限または無限個の対象によって生成されるものへと結果を一般化すること。
• 自由直交的およびユニタリ量子群などの例にこの構成を適用し、それらの交換子カテゴリが与えられた演算子集合と一致することを示すこと。

提案手法

• $B(H)$ 上の線形汎関数の普遍代数として $\mathcal{A} = \bigoplus_{k=0}^\infty B(H^{\bigotimes k})^*$ を定義する。
• $B(H)$ の乗法から双対性を介して $\mathcal{A}$ にバイアリスチャクチャを構成し、余乗法 $\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}$ を得る。
• $\mathcal{I} = \bigcup_n \mathcal{I}_n$ をバイアイデアルとし、$\mathcal{I}_n$ を $\mathcal{C}$ の演算子の可換子上での関数がレベル $n$ まで消えるものと定義し、テンソル構造と整合性を持つようにする。
• $\mathcal{I}$ が余乗法および対合に関して保存されることを示し、$\mathcal{A}/\mathcal{I}$ がHopf $^*$-代数であることを保証する。
• $\mathbb{C}[G] = \mathcal{A}/\mathcal{I}$ が、$H$ 上に基本的ユニタリ表現 $U$ を持ち、その交換子がちょうど $\mathcal{C}$ の演算子と一致することを証明する。
• 有限部分カテゴリ上の帰納的極限を用いて一般の $C^*$-テンソルカテゴリへ結果を拡張する。この際、量子群の構成の一意性を利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WoronowiczのTannaka-Krein双対性は、カテゴリ的言語に依存せず、有限次元の双対性と代数的構成のみを用いて証明可能か？
• RQ2 与えられたヒルベルト空間 $H$ のテンソル冪間の交換子の集合から、コンパクト量子群のHopf $^*$-代数を明示的に再構成する方法は何か？
• RQ3 テンソル冪間の演算子の集合が、コンパクト量子群の交換子として生じるための条件は何か？
• RQ4 単一生成カテゴリから、有限または無限個の生成子をもつカテゴリへとこの構成をどのように一般化できるか？
• RQ5 自由直交的およびユニタリ量子群は、この方法によって回復可能か？ また、それらの交換子カテゴリは与えられた演算子集合と一致するか？

主な発見

• 与えられた五つの公理を満たす集合 $\mathcal{C}$ に対して、$H$ 上に自己共役な基本的表現をもつ一意的なコンパクト量子群 $G$ が存在し、すべての $k,l \geq 0$ に対して $\operatorname{Hom}_G(H^{\otimes k}, H^{\otimes l}) = \mathcal{C}(k,l)$ が成り立つことが確立された。
• Hopf $^*$-代数 $\mathbb{C}[G]$ は、$\mathcal{I}$ を $\mathcal{C}$ の演算子系の可換子上で消える関数のバイアイデアルとして、明示的に $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ として構成された。
• この構成はカテゴリフリーであり、有限次元の双対性と線形代数にのみ依存し、完全なカテゴリ理論的道具を用いない。
• 自由直交的量子群 $O_F^+$ は、共役方程式を満たす単一の演算子 $R$ によって生成される $\mathcal{C}$ の特別な場合として得られる。
• 自由ユニタリ量子群 $U_Q^+$ は、$H = K \oplus \overline{K}$ とし、射影 $p$ と共役方程式の解 $R$ を含めることで回復される。
• 一般の $C^*$-テンソルカテゴリに対しては、有限部分カテゴリに対応する量子群の帰納的極限として量子群 $G$ が得られ、表現カテゴリ構造が保存される。