[論文レビュー] Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers

Alex Collins, Alexander W. N. Riasanovsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ K_{b,b} $-free な二部グラフで $ K_{s,s} $ 部分グラフを避ける際の辺の最大数であるザランキエヴィチ数 $ z(b;s) $ を境界付けたり計算するための計算手法を導入する。この手法を用いて、$ 3 \leq s \leq 6 $ の場合に新しい正確な値と境界を特定し、以前は未知であった二部グラフラムゼー数 $ b(2,5) = 17 $ を正確に計算した。また、$ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $ のタイトな境界を得ており、下界を示す一意な2色分けが存在する。

ABSTRACT

The Zarankiewicz number $z(b;s)$ is the maximum size of a subgraph of $K_{b,b}$ which does not contain $K_{s,s}$ as a subgraph. The two-color bipartite Ramsey number $b(s,t)$ is the smallest integer $b$ such that any coloring of the edges of $K_{b,b}$ with two colors contains a $K_{s,s}$ in the first color or a $K_{t,t}$ in the second color. In this work, we design and exploit a computational method for bounding and computing Zarankiewicz numbers. Using it, we obtain several new values and bounds on $z(b;s)$ for $3 \le s \le 6$. Our approach and new knowledge about $z(b;s)$ permit us to improve some of the results on bipartite Ramsey numbers obtained by Goddard, Henning and Oellermann in 2000. In particular, we compute the smallest previously unknown bipartite Ramsey number, $b(2,5)=17$. Moreover, we prove that up to isomorphism there exists a unique $2$-coloring which witnesses the lower bound $16<b></b>

研究の動機と目的

• ザランキエヴィチ数 $ z(b;s) $ を境界付けたり計算するための計算手法を開発すること。ここで $ z(b;s) $ は、$ K_{b,b} $ 部分グラフを含まないが $ K_{s,s} $ 部分グラフを含まない辺の最大数を表す。
• $ 3 \leq s \leq 6 $ の場合に $ z(b;s) $ の境界を改善し、正確な値を計算すること。この際、ザランキエヴィチ数と二部グラフラムゼー数の関係を活用する。
• 改善されたザランキエヴィチ数の境界を応用し、特にマルチカラーの場合に、二部グラフラムゼー数の正確な値やよりタイトな境界を求める。
• マルチカラー二部グラフラムゼー数の最小の未解決ケースを解消するため、$ b(2,2,3) $ についてタイトな境界を確立すること。

提案手法

• 著者らは、$ K_{s,s} $ 部分グラフを避ける極値の二部グラフを体系的かつ探索するための計算アルゴリズムを設計した。$ K_{b,b} $ のエッジ集合を表す0-1行列を用いてモデル化する。
• 構成的探索、対称性削減、および枝刈り技術を組み合わせることで、同型重複を避けながら効率的に候補グラフを探索する。
• ザランキエヴィチ数と二部グラフラムゼー数の双対性を用いる。$ K_{b,b} $ のエッジを2色に塗り分ける場合、モノクローラル $ K_{s,s} $ が存在しないなら、各色クラスのエッジ数は $ z(b;s) $ 以下である。
• 制約伝播を用いたバックトラッキングベースの探索を実装し、$ K_{s,s} $-free な制約下でエッジ数を最大化するための探索空間を探索する。
• 既知の理論的境界を初期値として用い、特に $ s = 3,4,5,6 $ の場合に、再帰的・反復的に $ z(b;s) $ の境界を精緻化する。
• 検証のため、既知の構成と既存の文献（特にアフザリとマケイによる $ z(n;2) $ で $ n \leq 31 $ まで）の結果と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ザランキエヴィチ数 $ z(b;s) $ について、$ 3 \leq s \leq 6 $ の場合に正確な値と改善された上界・下界は何か？
• RQ2 計算手法を用いて、特に大きな $ b $ の場合に $ z(b;s) $ の境界をどのようにタイトにできるか？
• RQ3 改善されたザランキエヴィチ数の境界を用いて、二部グラフラムゼー数、特に $ b(2,5) $ を計算またはタイトにできるか？
• RQ4 最小の未解決マルチカラー二部グラフラムゼー数 $ b(2,2,3) $ は何か？ そして、タイトな境界を確立できるか？
• RQ5 $ K_{16,16} $ の2色分けで、1色目にはモノクローラル $ K_{2,2} $ がなく、2色目にはモノクローラル $ K_{5,5} $ がないような極値の色分けは一意に存在するか？

主な発見

• この論文は、二部グラフラムゼー数 $ b(2,5) = 17 $ の正確な値を計算し、以前は未知であったケースを解決した。
• タイトな境界 $ 17 \leq b(2,2,3) \leq 18 $ を確立した。これは現在、マルチカラー二部グラフラムゼー数の最小の未解決ケースである。
• 同型を除いて、$ K_{16,16} $ の2色分けで、1色目にはモノクローラル $ K_{2,2} $ がなく、2色目にはモノクローラル $ K_{5,5} $ がないものがちょうど1つ存在することを証明した。これにより、$ b(2,5) > 16 $ の下界が確認された。
• 表5〜7に示すように、$ 3 \leq s \leq 6 $ の場合に新しい正確な値と改善された境界を提供した。特に $ z(17;5) = 171^* $、$ z(18;5) = 192^\dagger $、$ z(18;6) = 258 $ が含まれる。
• この手法により、以前は未知であったザランキエヴィチ数 $ z(17;5) = 171 $、$ z(18;5) = 192 $、$ z(18;6) = 258 $ を正確に計算した。アsterisk（*）とダガー（†）は、それぞれ新しい境界または改善された境界を示す。
• 既知の $ b_5(2) $ の上界（$ z(k^2 + k - 2; 2) $ から導かれる）が依然有効であることを確認した。また、$ b_5(2) = 28 $ であるという予想は未解決のままである。