[論文レビュー] Zariski decompositions on arithmetic surfaces

Atsushi Moriwaki|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、算術的表面における連続的型の算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合に対して、古典的ザリスキ分解をアラケロフ幾何学へ拡張する。$\overline{D} = \overline{P} + \overline{N}$ の分解を導入し、$\overline{P}$ がネフで $\overline{N}$ が有効であるとし、適切な正性および連続性条件の下で存在および一意性を証明。また、標準的なアラケロフ・チャウ群がこのような分解を捉えるのに不十分であることを示した。

ABSTRACT

In this paper, we establish the Zariski decompositions of arithmetic R-divisors of continuous type on arithmetic surfaces and investigate several properties. We also develop the general theory of arithmetic R-divisors on arithmetic varieties.

研究の動機と目的

• 代数的除集合の表面における古典的ザリスキ分解を、アラケロフ幾何学における算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合へ拡張すること。
• 算術的表面における連続的型の算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合に対して、ザリスキ分解を定義し、その性質を研究すること。
• 分解における正の部および負の部の性質を、特に極限および正性条件における挙動を調査すること。
• 標準的なアラケロフ・チャウ群（適切な計量を備えたもの）がザリスキ分解を捉えるのに不十分であることを示し、より洗練された計量タイプの必要性を強調すること。

提案手法

• 複素多様体上の ${\mathbb{R}}$-除集合に対して、$C^0$、$C^\infty$、PSH、一般の $\mathscr{T}$-型のグリーン関数を導入。
• $(D, g)$ を $D$ が ${\mathbb{R}}$-除集合で $g$ が指定された型のグリーン関数であるようなペアとして、算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合を定義。
• グロモフの不等式および歪度関数を用いてグリーン関数の成長を制御し、正性を確立。
• 多重サブハーモニック上包と呼ばれる手法を用いて、算術的除集合の正の部 $\overline{P}$ を構成。
• 算術的表面におけるネフな算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合のための $\sigma$-分解および極限過程の理論を構築。
• ネフな算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合 $\leq \overline{D}$ の集合における最大元として $\overline{P}$ を特徴づけることで、ザリスキ分解の存在および一意性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的表面における連続的型の算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合に対して、古典的代数的ケースに類似したザリスキ分解を定義できるか？
• RQ2 このような分解が算術的設定において存在および一意に成立するための必要十分条件は何か？
• RQ3 ネフな算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合の極限において、正の部および負の部はどのように振る舞うか？
• RQ4 なぜ標準的なアラケロフ・チャウ群（適切な計量付き）はザリスキ分解を捉えるのに不十分なのか？
• RQ5 さまざまなタイプのグリーン関数（例：$C^0$、PSH、$\mathscr{T}$-型）は、構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 算術的表面における連続的型の算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合に対して、ザリスキ分解 $\overline{D} = \overline{P} + \overline{N}$ は存在し、一意的である。
• 正の部 $\overline{P}$ は、$\overline{D}$ 以下であるネフな算術的 ${\mathbb{R}}$-除集合の最大元として特徴づけられ、代数的ケースの一般化である。
• 負の部 $\overline{N}$ は有効であり、$\operatorname{Supp}(\overline{N})$ のすべての成分 $C_i$ に対して $\widehat{\operatorname{deg}}(\overline{P} \cdot \overline{C}_i) = 0$ を満たし、$\operatorname{Supp}(\overline{N})$ 上の交差行列は負定値である。
• $\overline{M}_\lambda = (C_0, -\log|z|^2 + \log(|z|^2 + \lambda))$（$0 < \lambda < 1$）の例は、$\overline{M}_\lambda$ が大きいがネフではないことを示し、その正の部が $\lambda\overline{L}$ でないことを示しており、正の部の加法性が成り立たないことを示している。
• 適切な計量（例：ファルティングスの $\widehat{\operatorname{Div}}_{\Phi_\lambda}$）を備えたアラケロフ・チャウ群は、ザリスキ分解を捉えるのに失敗する。区間 $[0, \overline{M}_\lambda]$ 内で唯一のネフな要素は 0 である。
• $\overline{D} = (nC_0, -n\log|z|^2 + \log f(|z|))$ の場合、正の部は容易に計算できないため、明示的構成の複雑さを示している。