[論文レビュー] Zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski 3-space

Shoichi Fujimori, Yu Kawakami+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小林が知っていた例を拡張して、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間における、混合因果的型の実解析的ゼロ平均曲率の全関数グラフの新しい族を構成する。最大曲面理論と正則データの技術を用いて、n≥3 の場合に4n−7パラメータ族の空間的最適最大曲面と、n=2 の場合に3パラメータ族を構成する。これらは以前に知られていたグラフを含み、折りたたみ特異点を越えた解析接続によって、全関数ゼロ平均曲率グラフを生じる。

ABSTRACT

It is classically known that the only zero mean curvature entire graphs in the Euclidean 3-space are planes, by Bernstein's theorem. A surface in Lorentz-Minkowski 3-space $\boldsymbol{R}^3_1$ is called of mixed type if it changes causal type from space-like to time-like. In $\boldsymbol{R}^3_1$, Osamu Kobayashi found two zero mean curvature entire graphs of mixed type that are not planes. As far as the authors know, these two examples were the only known examples of entire zero mean curvature graphs of mixed type without singularities. In this paper, we construct several families of real analytic zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski $3$-space. The entire graphs mentioned above lie in one of these classes.

研究の動機と目的

• ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間における、平面でない混合因果的型の全関数ゼロ平均曲率グラフの新しい例を構成すること。
• これまでの2つの例に限られていた同種のグラフの例を拡張し、n≥3 に対して4n−7パラメータ族、n=2 に対して3パラメータ族を導入すること。
• 特定の空間的最適最大曲面が折りたたみ型特異点を有し、それらが正則拡張として適切な埋め込みとして拡張可能であり、全関数グラフを生じることを示すこと。
• ユークリッド3次元空間におけるシュェルク型のサドルタワー曲面が、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間において全関数グラフとして解析的に拡張可能であることを示すこと。
• 小林とセルゲンコとツカエフの先行研究を統合し、『小林曲面』の順序nに関する一貫した枠組みで一般化すること。

提案手法

• 一般化されたワイエルシュトラス表現を通じて、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間における最大曲面と正則データの間の対応を利用する。
• 各n≥3 に対して、唯一の折りたたみ型特異点を持つ genus zero の空間的最適最大曲面の4n−7パラメータ族を構成する。n=2 の場合に3パラメータ族を構成する。
• 先行研究[5]の技術を応用し、これらの曲面の特定の部分集合が折りたたみ特異点を越えて正則拡張可能であり、適切な埋め込みとして得られることを示す。
• パrameter領域内の境界列に沿った座標の発散を解析することで、得られるパrametrization写像の単射性と適切性を証明する。
• 一般化された自己双対および反自己双対多項式と、チェビシェフ多項式の恒等式を用いて、正則データの構造を分析する。
• 特異点を越えた解析接続の結果、得られる曲面がゼロ平均曲率を持つ全関数 t=λ(x,y) を与えることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の2例に加え、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間において、混合因果的型の全関数ゼロ平均曲率グラフの新しい族を構成可能か？
• RQ2 折りたたみ型特異点を有する最大曲面が、ゼロ平均曲率の全関数グラフを生じる正則拡張を有するか？
• RQ3 ユークリッド3次元空間におけるシュェルク型サドルタワー曲面が、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間において全関数グラフとして拡張可能か？
• RQ4 このような全関数グラフのパrameter空間の次元は、合同変換およびスケーリングを除いていくつか？
• RQ5 新しい例は、既知の小林曲面およびそれらの幾何的性質とどのように関係しているか？

主な発見

• 著者らは、整数 n≥3 に対して、合同変換およびスケーリングを除いて (4n−7) パラメータ族の混合型ゼロ平均曲率全関数グラフをローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間に構成した。
• n=2 の場合、このような全関数グラフの3パラメータ族を構成した。これは、小林が以前に発見した2つの例：λ(x,y)=x tanh(2y) および λ(x,y)=log(cosh x / cosh y) を含む。
• これらのグラフに関連する最大曲面が、折りたたみ特異点を越えて正則拡張可能であり、適切な埋め込みとして全関数グラフを生じることを示した。
• カーチャー[11]および[13]のシュェルク型サドルタワー曲面が、ローレンツ＝ミンコフスキー3次元空間において全関数グラフとして解析的に拡張可能であり、n=2 の場合に小林の第二例と一致する。
• 本構成は、『小林曲面』の順序nに関する一般枠組みに依拠しており、既知の例を統合し、新たな例を体系的に生成する手法を提供する。
• パrameter領域内の境界列に沿った特定の座標関数の発散を示すことにより、得られるグラフの適切性が確立された。