[論文レビュー] Zero sum partition into sets of the same order and its applications

Sylwia Cichacz|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル群 Γ が m-ゼロ和分割（m-ZSP）性質を持つための必要十分条件を確立している：Γ が m-ZSP を持つのは、|Γ| が奇数であるか、m ≥ 3 かつ Γ が1つより多くの対合をもつときである。これらの結果は、特定のグラフにおける群距離魔方陣ラベリングの構成および Γ-コツィグ配列の存在条件の証明に応用されている。

ABSTRACT

We will say that an Abelian group $Γ$ of order $n$ has the $m$-\emph{zero-sum-partition property} ($m$- extit{ZSP-property}) if $m$ divides $n$, $m\geq 2$ and there is a partition of $Γ$ into pairwise disjoint subsets $A_1, A_2,\ldots , A_t$, such that $|A_i| = m$ and $\sum_{a\in A_i}a = g_0$ for $1 \leq i \leq t$, where $g_0$ is the identity element of $Γ$. In this paper we study the $m$-ZSP property of $Γ$. We show that $Γ$ has $m$-ZSP if and only if $|Γ|$ is odd or $m\geq 3$ and $Γ$ has more than one involution. We will apply the results to the study of group distance magic graphs as well as to generalized Kotzig arrays.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群 Γ が、和が単位元に等しいサイズ m の部分集合に分割可能となるための必要十分条件を特定すること。
• 従来の任意サイズのゼロ和分割に関する研究を一般化し、均等な部分集合サイズ m における ZSP 性質への拡張を図ること。
• m-ZSP の結果を応用して、正則および二部グラフに対する群距離魔方陣ラベリングの構成を行うこと。
• アーベル群 Γ の要素をもつ j×k グリッド（各行が Γ の順列であり、すべての列の和が同じ群要素になる）である Γ-コツィグ配列の存在を調査すること。

提案手法

• m-ZSP 性質を定義：Γ を互いに素なサイズ m の部分集合に分割し、それぞれの和が単位元 g₀ に等しくなること。
• 有限アーベル群の構造および対合の性質を用いた群論的技法を用いて、m-ZSP を特徴づけること。
• m-ZSP 条件を応用して、特に正則および二部グラフに注目し、Γ-距離魔方陣ラベリングを G∘K̄n のグラフに対して構成すること。
• 群の自己同型および和の条件を満たす双方向写像を用いて、2×k および 3×k 配列を組み合わせることで Γ-コツィグ配列を構成すること。
• 既知の ZSP 性質に関する結果（例：定理 2）を用い、均等な部分集合サイズ m に拡張すること。
• Γ が1つより多くの対合をもつ、もしくは奇数位数をもつならば、m ≥ 3 のとき m-ZSP が成り立つという事実を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アーベル群 Γ および整数 m ≥ 2 に対して、Γ が互いに素なサイズ m の部分集合に分割可能で、それぞれの和が単位元に等しいのはどのような場合か？
• RQ2 Γ に含まれる対合の数は、m ≥ 3 のときの m-ZSP の存在にどのように影響するか？
• RQ3 あるアーベル群 Γ（|V(G)| と等しい位数）に対して、G∘K̄n が Γ-距離魔方陣ラベリングをもつための条件は何か？
• RQ4 与えられたアーベル群 Γ および整数 j, k に対して、サイズ j×k の Γ-コツィグ配列が存在する条件は何か？
• RQ5 ZSP 性質は、サイズ m ≥ 3 の均等な部分集合への分割に一般化可能か？

主な発見

• アーベル群 Γ が m-ZSP 性質を持つのは、|Γ| が奇数であるか、m ≥ 3 かつ Γ が1つより多くの対合をもつときである。
• m ≥ 3 のとき、1つより多くの対合をもつ任意の有限アーベル群 Γ は m-ZSP 性質を持つ。
• G∘K̄n に Γ-距離魔方陣ラベリングが存在するかどうかは、rn の偶奇および Γ の構造、特に対合の数に依存する。
• j > 1 かつ j が偶数、または j が奇数かつ Γ ∈ ℒ（1つより多くの対合をもつ）である限り、任意のアーベル群 Γ に対してサイズ j×k の Γ-コツィグ配列が存在する。
• 任意のアーベル群 Γ に対して、サイズ 2×k の Γ-コツィグ配列が存在する。これは、x₁ᵢ = gᵢ および x₂ᵢ = -gᵢ を割り当てることで達成される。
• Γ ∈ ℒ である任意の Γ に対して、サイズ 3×k の Γ-コツィグ配列が存在する。これは、すべての g ∈ Γ に対して g + φ(g) + ψ(g) = g₀ を満たす双方向写像 φ および ψ を用いることで達成される。