[論文レビュー] Zeroes of the spectral density of the periodic Schroedinger operator with Wigner-von Neumann potential

Serguei Naboko, Sergey Simonov|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、半直線上の1次元シュレーディンガー作用素について、周期的背景ポテンシャルとクーロン減衰型のウィグナー＝フォン・ノイマン型ポテンシャルを有する場合のスペクトル密度を調査する。一般化固有関数の漸近的解析と離散化近似法を用いて、著者らは、絶対連続スペクトル内の臨界（共鳴）点においてスペクトル密度がべき乗的ゼロを示すことを証明した。これは、微小な摂動に対しても持続する安定な擬似ギャップを示しており、埋め込まれた固有値とは異なり、不安定である。

ABSTRACT

We consider the Schroedinger operator L_α on the half-line with a periodic background potential and the Wigner-von Neumann potential of Coulomb type: csin(2ωx+d)/(x+1). It is known that the continuous spectrum of the operator L_α has the same band-gap structure as the free periodic operator, whereas in each band of the absolutely continuous spectrum there exist two points (so-called critical or resonance) where the operator L_α has a subordinate solution, which can be either an eigenvalue or a `half-bound' state. The phenomenon of an embedded eigenvalue is unstable under the change of the boundary condition as well as under the local change of the potential, in other words, it is not generic. We prove that in the general case the spectral density of the operator L_α has power-like zeroes at critical points (i.e., the absolutely continuous spectrum has pseudogaps). This phenomenon is stable in the above-mentioned sense.

研究の動機と目的

• 周期的ポテンシャルと1/xに比例して減衰するウィグナー＝フォン・ノイマン型ポテンシャルを有する半直線上のシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• 一般化固有関数の漸近的挙動が変化する臨界点において、スペクトル密度が特異性を示すかどうかを特定すること。
• 境界条件の変更や局所的ポテンシャルの変更を含む微小摂動に対して、そのような特異性が安定であるかを確立すること。
• スペクトル密度が共鳴点においてべき乗的ゼロを示すという厳密な証明を提供することにより、絶対連続スペクトル内に擬似ギャップが存在することを示すこと。

提案手法

• 微分方程式を行列の再帰関係に還元するため、変数変換とスケーリングを用いて問題を離散系に変換する。
• 臨界スペクトル点付近での解の長期的挙動を解析するため、ゆっくり変化する変数 $ y = |\varepsilon| x / a $ を導入する。
• 微分系の離散化を実行し、作用素論的技法を適用して、ゆっくりスケールにおける解の収束を証明する。
• 重要なステップとして、臨界エネルギー $ \nu_{cr} $ における解の非優位性（non-subordinacy）を証明する。これは、$ \varepsilon \to 0 $ の極限において一般化固有関数の極限が消えないことを示し、結果として非ゼロのスペクトル密度の導関数を意味する。
• 離散系から導かれる極限積分ボルテラ型方程式を用いて、解の漸近的挙動を捉える。
• 証明は二段階に分けられる：区間 $ (0, c_2/|\varepsilon|] $ および $ (c_2/|\varepsilon|, \infty) $ における粗い事前推定、その後にゆっくりスケールにおける精密収束解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ポテンシャルとウィグナー＝フォン・ノイマン型ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル密度は、絶対連続スペクトル内の臨界点において特異性を示すか？
• RQ2 境界条件の変更や局所的ポテンシャルの変更を含む微小摂動に対しても、そのような特異性は安定か？
• RQ3 共鳴点付近での一般化固有関数の漸近的挙動を用いて、スペクトル密度の性質を特定できるか？
• RQ4 スペクトル密度におけるべき乗的ゼロ（擬似ギャップ）の現象は、埋め込まれた固有値の出現よりも安定性が高いか？
• RQ5 離散化近似法とゆっくりスケール解析は、従来のスペクトル特異性の解析手法と比較してどのように異なるか？

主な発見

• シュレーディンガー作用素 $ \mathcal{L}_{\alpha} $ のスペクトル密度は、絶対連続スペクトル内の臨界点においてべき乗的ゼロを示し、擬似ギャップの存在を示している。
• これらのゼロは、境界条件の変更やコンパクトな台を持つ局所的摂動を含む微小摂動に対しても安定である。これは、埋め込まれた固有値とは異なり、不安定であるのとは対照的である。
• このようなゼロの存在は、共鳴エネルギーにおける一般化固有関数の漸近的挙動の変化と関連しており、解のタイプが振動的からべき乗則的挙動に移行する点に対応する。
• 証明により、$ \varepsilon \to 0 $ の極限において一般化固有関数列の極限が消えないことが示され、非優位性（non-subordinacy）が保証され、結果として極限におけるスペクトル密度の導関数が非ゼロであることが示された。
• 解析を二つの領域に分割し、ゆっくりスケールにおける作用素論的技法を用いることで、複雑な振動的積分推定を回避する手法が成功した。
• 従来のウィグナー＝フォン・ノイマン型ポテンシャルに関する結果を一般化し、周期的背景を有する場合にまで拡張した。これにより、擬似ギャップがこのような作用素の強固な特徴であることが示された。