[논문 리뷰] Zeta Functions and the Log-behavior of Combinatorial Sequences

William Y. C. Chen, Jeremy J. F. Guo외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 26.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수와 감마 함수를 이용하여 조합 수열의 로그 볼록성을 확립하며, 수열 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$과 $\{\sqrt[n]{B_n}\}$이 엄격히 증가함을 증명한다. 논문은 리만 제타 함수, 베셀 제타 함수, 그리고 확률 이론에서의 헬더 부등식을 포함한 해석적 방법을 통해 선의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we use the Riemann zeta function $ζ(x)$ and the Bessel zeta function $ζ_μ(x)$ to study the log-behavior of combinatorial sequences. We prove that $ζ(x)$ is log-convex for $x>1$. As a consequence, we deduce that the sequence $\{|B_{2n}|/(2n)!\}_{n\geq 1}$ is log-convex, where $B_n$ is the $n$-th Bernoulli number. We introduce the function $θ(x)=(2ζ(x)Γ(x+1))^{\frac{1}{x}}$, where $Γ(x)$ is the gamma function, and we show that $\log θ(x)$ is strictly increasing for $x\geq 6$. This confirms a conjecture of Sun stating that the sequence $\{\sqrt[n] {|B_{2n}}|\}_{n\geq 1}$ is strictly increasing. Amdeberhan, Moll and Vignat defined the numbers $a_n(μ)=2^{2n+1}(n+1)!(μ+1)_nζ_μ(2n)$ and conjectured that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for $μ=0$ and $μ=1$. By proving that $ζ_μ(x)$ is log-convex for $x>1$ and $μ>-1$, we show that the sequence $\{a_n(μ)\}_{n\geq 1}$ is log-convex for any $μ>-1$. We introduce another function $θ_μ(x)$ involving $ζ_μ(x)$ and the gamma function $Γ(x)$ and we show that $\log θ_μ(x)$ is strictly increasing for $x>8e(μ+2)^2$. This implies that $\sqrt[n]{a_n(μ)} 4e(μ+2)^2$. Based on Dobinski's formula, we prove that $\sqrt[n]{B_n}

연구 동기 및 목표

• 조합 수열, 예를 들어 베르누이 수와 벨 수의 로그 행동을 분석하기 위한 해석적 도구를 제공한다.
• 모든 $x > 1$ 에 대해 $\zeta(x)$ 와 모든 $\mu > -1$ 에 대해 $\zeta_\mu(x)$ 가 로그 볼록임을 증명한다.
• 선의 추측, 즉 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ 이 엄격히 증가함을 확인한다.
• 베셀 제타 함수와 벨 수를 포함하는 일반화된 수열으로 분석을 확장한다.
• $\sqrt[n]{B_n}$ 의 증가 성질과 확률 이론에서의 헬더 부등식 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• $\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$ 를 정의하고, $x \geq 6$ 에서 $\log\theta(x)$ 가 엄격히 증가함을 증명하며, 이는 $\sqrt[n]{|B_{2n}|}$ 와 연결된다.
• $\theta_\mu(x) = \left(\frac{2}{\mu!}\Gamma(\frac{x}{2})\Gamma(\left(\frac{x}{2}+\mu+1\right)\zeta_\mu(x)\right)^{1/x}$ 를 도입하여 $\sqrt[n]{a_n(\mu)}$ 를 분석한다.
• $\zeta(x)$ 가 $x > 1$ 에서 로그 볼록임을 증명함으로써, $\{|B_{2n}|/(2n)!\}$ 과 $\{|B_{2n}|\}$ 의 로그 볼록성을 유도한다.
• 도빈스키 공식을 이용해 벨 수를 $B_n = B(n)$ 으로 표현하며, 여기서 $B(x) = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^x}{k!}$ 이고, $x > 1$ 에서 $B(x)$ 가 로그 볼록임을 보인다.
• 포아송 분포를 가진 랜덤 변수 $Z$ 에 대해 헬더 부등식을 적용하여, $0 < x < y$ 에 대해 $E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$ 임을 보이고, 이는 $B(x)^{1/x}$ 가 엄격히 증가함을 의미한다.
• $\log B(x)^{1/x}$ 가 $x \geq 1$ 에서 엄격히 증가함을 증명함으로써, $\{\sqrt[n]{B_n}\}$ 의 단조성 확인.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수열 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ 이 $n \geq 1$ 에서 엄격히 증가하는가?
• RQ2 수열 $\{\sqrt[n]{a_n(\mu)}\}$ 이 $n > 4e(\mu+2)^2$ 와 $\mu > -1$ 에서 엄격히 증가하는가?
• RQ3 선의 추측에 따르면, 수열 $\{\sqrt[n]{B_n}\}$ 이 엄격히 증가하는가?
• RQ4 $B(x)^{1/x}$ 는 $0 < x < y$ 에 대해 $B(x)^{1/x} < B(y)^{1/y}$ 를 만족하는가?
• RQ5 $\log B(x)^{1/x}$ 는 $x \geq 1$ 에서 로그 볼록한가?

주요 결과

• 리만 제타 함수 $\zeta(x)$ 는 $x > 1$ 에서 로그 볼록함을 보이며, 이는 $\{|B_{2n}|/(2n)!\}$ 과 $\{|B_{2n}|\}$ 의 로그 볼록성을 유도한다.
• $\theta(x) = (2\zeta(x)\Gamma(x+1))^{1/x}$ 는 $\log\theta(x)$ 가 $x \geq 6$ 에서 엄격히 증가함을 만족하며, 이는 $\{\sqrt[n]{|B_{2n}|}\}$ 가 엄격히 증가함을 확인한다.
• 베셀 제타 함수 $\zeta_\mu(x)$ 는 $x > 1$ 과 $\mu > -1$ 에서 로그 볼록함을 보이며, 이는 모든 $\mu > -1$ 에 대해 $\{a_n(\mu)\}$ 이 로그 볼록함을 의미하며, 암데베라한, 몰, 비그나의 추측을 확인한다.
• $\theta_\mu(x)$ 에 대해 $\log\theta_\mu(x)$ 는 $x > 8e(\mu+2)^2$ 에서 엄격히 증가함을 보이며, 이는 $n > 4e(\mu+2)^2$ 에 대해 $\sqrt[n]{a_n(\mu)} < \sqrt[n+1]{a_{n+1}(\mu)}$ 를 유도함으로써, 선의 추측이 $\mu=0,1$ 에서 성립함을 확인한다.
• 도빈스키 공식을 이용해 $\log B(x)^{1/x}$ 가 $x \geq 1$ 에서 엄격히 증가함을 증명함으로써, $\{\sqrt[n]{B_n}\}$ 이 엄격히 증가함을 확인한다.
• $\sqrt[n]{B_n}$ 의 단조성은 포아송 랜덤 변수 $Z$ 에 대해 헬더 부등식을 적용함으로써 도출되며, $0 < x < y$ 에 대해 $E[Z^x]^{1/x} < E[Z^y]^{1/y}$ 를 보이고, 이는 $B(x)^{1/x}$ 가 엄격히 증가함을 의미한다.