[论文解读] 2 Realization theory of discrete-time linearswitched systems

M. Petreczky|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

Control Systems and Identification参考文献 54被引用 18

一句话总结

本文建立了离散时间线性切换系统（DTLSSs）的实现理论，证明了输入-输出映射存在DTLSS实现当且仅当其Hankel矩阵具有有限秩。关键贡献在于通过可生成性与可观测性对最小性进行了表征，且最小实现相对于状态空间变换唯一同构，核心数学工具为有理形式幂级数。

ABSTRACT

The paper presents realization theory of discrete-time linear switched systems. A discrete-time linear switched system is a hybrid system, such that the continuous sub-system associated with each discrete state is linear. In this paper we present necessary and sufficient conditions for an input-output map to admit a discrete-time linear switched state-space realization. The conditions are formulated as finite rank conditions of a generalized Hankel-matrix. In addition, we present a characterization of minimality of discrete-time linear switched systems in terms of reachability and observable.Further, we prove that minimal realizations are unique up to isomorphism. We also discuss procedures for converting a linear switched system to a minimal one and we present an algorithm for constructing a state-space representation from input-output data.The paper uses the theory rational formal power series in non-commutative variables. The latter theory was successfully applied to bilinear and state-affine systems in the past.

研究动机与目标

• 解决尽管连续时间情形已有大量研究，但离散时间线性切换系统缺乏实现理论的问题。
• 为输入-输出映射存在DTLSS状态空间实现提供必要且充分条件。
• 基于可生成性与可观测性，表征DTLSS的最小性，并证明最小实现相对于同构的唯一性。
• 开发用于最小化DTLSSs的算法，并从输入-输出数据构建状态空间模型。
• 建立DTLSSs与有理形式幂级数之间的正式对应关系，从而可应用高级代数工具。

提出的方法

• 将DTLSSs定义为具有每种模式下线性动态的离散时间系统，其切换由外部输入控制。
• 引入Markov参数与Hankel矩阵的概念，将线性系统理论推广至非交换设置。
• 以非交换变量中的有理形式幂级数理论作为基础数学框架。
• 证明DTLSS实现存在的充要条件是输入-输出映射的Hankel矩阵具有有限秩。
• 构建一个最小化算法，通过顺序的可生成性与可观测性约简，将任意DTLSS转换为最小形式。
• 建立DTLSSs与其对应有理形式幂级数表示之间的同构关系，实现结构等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，输入-输出映射存在离散时间线性切换状态空间实现？
• RQ2 如何基于系统理论性质（如可生成性与可观测性）表征DTLSS的最小性？
• RQ3 给定一个输入-输出映射的最小实现是否在同构意义下唯一？
• RQ4 DTLSS实现问题与有理形式幂级数理论之间存在何种关系？
• RQ5 如何算法化地从输入-输出数据构造一个最小DTLSS？

主要发现

• 输入-输出映射存在DTLSS实现当且仅当其关联的Hankel矩阵具有有限秩。
• 最小DTLSSs由同时满足可生成性与可观测性表征，且此类实现相对于同构唯一。
• 最小实现同构于对应有理形式幂级数的最小表示。
• 存在一个最小化算法，可将任意DTLSS转换为最小形式，同时保持其输入-输出行为不变。
• 提供了一种直接从输入-输出映射的Hankel矩阵构造状态空间表示的程序。
• DTLSS的实现问题等价于有理形式幂级数的实现问题，建立了深刻的代数对应关系。