[论文解读] A Benchmarking Study of Quantum Algorithms for Combinatorial Optimization

Krishanu Sankar, Artur Scherer+9 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文对三种量子算法——测量反馈相干伊辛机（MFB-CIM）、离散绝热量子计算（DAQC）以及 Dürr–Høyer 量子最小值查找算法（DH-QMF）——在求解 MaxCut 问题上的表现进行了基准测试。研究发现，MFB-CIM 的中位时间-解算（TTS）缩放为 Θ(2^√n)，相较于 DAQC（在 n 上呈指数级）和 DH-QMF（˜O(√(2^n))）展现出显著的性能优势，表明其在组合优化问题中具有重要的理论加速潜力。

ABSTRACT

We study the performance scaling of three quantum algorithms for combinatorial optimization: measurement-feedback coherent Ising machines (MFB-CIM), discrete adiabatic quantum computation (DAQC), and the Dürr-Hoyer algorithm for quantum minimum finding (DH-QMF) that is based on Grover's search. We use MaxCut problems as a reference for comparison, and time-to-solution (TTS) as a practical measure of performance for these optimization algorithms. For each algorithm, we analyze its performance in solving two types of MaxCut problems: weighted graph instances with randomly generated edge weights attaining 21 equidistant values from $-1$ to $1$; and randomly generated Sherrington-Kirkpatrick (SK) spin glass instances. We empirically find a significant performance advantage for the studied MFB-CIM in comparison to the other two algorithms. We empirically observe a sub-exponential scaling for the median TTS for the MFB-CIM, in comparison to the almost exponential scaling for DAQC and the proven $\widetilde{O}\left(\sqrt{2^n} ight)$ scaling for DH-QMF. We conclude that the MFB-CIM outperforms DAQC and DH-QMF in solving MaxCut problems.

研究动机与目标

• 在理想、无噪声条件下，评估三种不同量子算法在组合优化问题上的理论性能缩放行为。
• 比较 MFB-CIM、DAQC 和 DH-QMF 在 MaxCut 问题上的时间-解算（TTS）性能，以代表性 NP-难问题为基准。
• 分离并分析含时演化与耗散型量子算法的内在资源需求与缩放特性，独立于当前硬件限制。
• 确定量子算法是否能在理论上实现对经典启发式方法的实质性优势，以求解困难的优化问题。

提出的方法

• 本研究采用 MaxCut 问题作为基准，将其映射为具有耦合项 J_ij 和局部场 h_i 的伊辛自旋玻璃模型。
• 对于 DAQC，通过在电路模型量子计算机上使用 Trotter 化近似实现离散绝热演化，以单位门演化模拟绝热路径。
• DH-QMF 算法通过 Grover 搜索作为基本操作实现，其自定义量子预言机通过受控相位旋转与模算术计算自旋构型的能量。
• 能量预言机 O_E 通过串行执行耦合权重 J_ij 的受控加法/减法操作构建，利用 Draper 的基于 QFT 的加法方法以提高效率。
• 两个构型之间的比较步骤采用深度对数的比较电路，根据能量比较结果输出一个标志量子比特。
• 完整的 Grover 迭代通过在标志量子比特上施加受控-非门实现，随后进行逆计算以清除中间垃圾信息，电路深度与门复杂度使用 projectQ 进行估算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在理想条件下，MFB-CIM、DAQC 和 DH-QMF 在 MaxCut 问题上的时间-解算（TTS）缩放行为如何比较？
• RQ2 使用电路模型量子计算机实现 DH-QMF 算法求解 MaxCut 问题的理论资源成本（以电路深度和门复杂度衡量）是多少？
• RQ3 耗散型 MFB-CIM 方法是否在渐近缩放上优于如 DAQC 和 DH-QMF 等单位门方法？
• RQ4 能量评估的量子预言机能否在量子比特数和门数方面实现高效实现，特别是对于稠密图？

主要发现

• MFB-CIM 的中位时间-解算（TTS）缩放为 Θ(2^√n)，表明其相对于经典方法及其他量子方法具有次指数级缩放优势。
• DAQC 展现出与 n 成指数关系的 TTS 缩放，与暴力搜索的最坏情况经典复杂度一致。
• DH-QMF 算法实现了可证明的 TTS 缩放 Õ(√(2^n))，相较于经典穷举搜索具有二次量子加速。
• 能量预言机 O_E 导致电路深度为 Θ(n² log log n + (log n)²)，门复杂度为 Θ(n² log n log log n + (log n)²)，这是由于 J_ij 操作的串行执行所致。
• 若对预言机进行并行化，可将深度降低至 Θ(n + (log n)³ + log log n)，但需额外 O(n² log n) 个量子比特，因此在当前资源约束下不切实际。
• 整体 Grover 迭代的深度为 Θ(n² log log n + (log n)² + n)，门复杂度主要由相同项主导，确认了该算法的可扩展性瓶颈在于能量预言机。