[论文解读] A bicategory of decorated cospans

Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文通过使用对称 lax 单位函子将额外结构（例如权重、向量场）附加到具有有限上积的范畴中的余楔上，引入了一个装饰余楔的对称单子双范畴。通过利用 Shulman 的技术，即通过伪双范畴构造对称单子双范畴，作者建立了一个框架，用于建模具有结构化组件的网络，如电路和动力系统，从而通过装饰余楔的同构类实现组合式推理。

ABSTRACT

If $\mathbf{C}$ is a category with pullbacks then there is a bicategory with the same objects as $\mathbf{C}$, spans as morphisms, and maps of spans as 2-morphisms, as shown by Benabou. Fong has developed a theory of "decorated" cospans, which are cospans in $\mathbf{C}$ equipped with extra structure. This extra structure arises from a lax symmetric monoidal functor $F \colon \mathbf{C} o \mathbf{D}$; we use this functor to "decorate" each cospan with apex $N \in \mathbf{C}$ with an element of $F(N)$. Using a result of Shulman, we show that when $\mathbf{C}$ has finite colimits, decorated cospans are morphisms in a symmetric monoidal bicategory. We illustrate our construction with examples from electrical engineering and the theory of chemical reaction networks.

研究动机与目标

• 将余楔双范畴推广为通过对称 lax 单位函子包含额外结构的版本。
• 为应用数学和工程中的网络（如电路和化学反应网络）提供一个组合式框架。
• 通过将装饰余楔视为双范畴中的态射而非仅仅范畴中的态射，形式化网络的同构类。
• 利用 Shulman 的对称单子双范畴方法，将 Stay 关于余楔的结果扩展到装饰余楔。
• 统一网络组合与结构装饰，从而实现对开放系统的更丰富建模。

提出的方法

• 使用对称 lax 单位函子 F: C → D，将 C 中余楔的顶点用 D 中的元素 F(N) ∈ D 进行装饰。
• 从装饰余楔构造一个对称单子伪双范畴，使用 C 中选定的上积和余积。
• 应用 Shulman 的技术，将该双范畴提升为装饰余楔的对称单子双范畴。
• 将态射定义为形如 X → N ← Y 的余楔，其装饰为映射 s: I → F(N)，其中 I 是 D 中的单位。
• 通过上积和函子 F 的单子结构确保与组合的兼容性，保持对称性和结合律。
• 通过示例说明该构造：使用加权图表示电路，使用向量场表示动力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将装饰余楔组织为对称单子双范畴，以在网络理论中支持组合式推理？
• RQ2 范畴 C 和函子 F 需要满足什么条件，才能使装饰余楔构成一个对称单子双范畴？
• RQ3 为何使用对称 lax 单位函子 F 能够实现对物理结构（如电阻、向量场）在组件上的编码？
• RQ4 该双范畴结构如何使网络的同构类得以表达，而不仅仅是相等性？
• RQ5 该框架能否使用统一的范畴语言，应用于动力系统理论和电路中的开放系统建模？

主要发现

• 该构造产生了一个对称单子双范畴，其中对象是 C 中的元素，态射是带有 F(N) 中数据的装饰余楔 X → N ← Y，2-态射是保持装饰的楔映射。
• 双范畴结构通过上积支持网络的组合，且装饰通过函子 F 一致变换。
• 对于电路，装饰函子 F 将每个有限集 N 映射到 N 上的加权图集合，权重表示电阻。
• 对于动力系统，函子 D: FinSet → Set 将每个有限集 S 映射到 R^S 上的向量场集合，用于建模开放系统。
• 该框架作为特例恢复了先前工作的已知结果，例如 Lerman 和 Spivak 关于开放动力系统的成果。
• 该方法将 Stay 关于余楔的结果推广到装饰余楔，为在组合式且对称单子双范畴设置下系统化地建模结构化开放网络提供了途径。