[论文解读] A Deterministic Almost-Linear Time Algorithm for Minimum-Cost Flow

Jan van den Brand, Li Chen+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2023

Complexity and Algorithms in GraphsComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了首个在容量、费用和需求多项式有界的有向图中计算最小费用流和最大流的确定性几乎线性时间算法。该算法通过引入一种确定性的动态图数据结构，维护低拉伸生成树和稀疏支配子图，从而在无需随机性的情况下高效计算近似最小比率环，实现了 $ m^{1+o(1)} $ 的运行时间。

ABSTRACT

We give a deterministic $m^{1+o(1)}$ time algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities. As a consequence, we obtain the first running time improvement for deterministic algorithms that compute maximum-flow in graphs with polynomial bounded capacities since the work of Goldberg-Rao [J.ACM '98]. Our algorithm builds on the framework of Chen-Kyng-Liu-Peng-Gutenberg-Sachdeva [FOCS '22] that computes an optimal flow by computing a sequence of $m^{1+o(1)}$-approximate undirected minimum-ratio cycles. We develop a deterministic dynamic graph data-structure to compute such a sequence of minimum-ratio cycles in an amortized $m^{o(1)}$ time per edge update. Our key technical contributions are deterministic analogues of the vertex sparsification and edge sparsification components of the data-structure from Chen et al. For the vertex sparsification component, we give a method to avoid the randomness in Chen et al. which involved sampling random trees to recurse on. For the edge sparsification component, we design a deterministic algorithm that maintains an embedding of a dynamic graph into a sparse spanner. We also show how our dynamic spanner can be applied to give a deterministic data structure that maintains a fully dynamic low-stretch spanning tree on graphs with polynomially bounded edge lengths, with subpolynomial average stretch and subpolynomial amortized time per edge update.

研究动机与目标

• 弥合多项式有界容量的图中最大流算法在随机化与确定性算法之间的长期差距。
• 为 Chen 等人最近提出的 $m^{1+o(1)}$-时间随机化最小费用流框架提供确定性实现。
• 消除关键组件中的随机性——此前依赖于随机采样和树嵌入的顶点压缩与边压缩。
• 设计一种确定性的动态数据结构，以亚多项式摊还更新时间维护低拉伸生成树。
• 构建一种完全动态的支配子图，具有亚多项式拉伸和亚多项式更新时间，用于流计算。

提出的方法

• 设计一种确定性的动态图数据结构，以亚多项式拉伸和亚多项式摊还更新时间每边变更维护底层图的稀疏支配子图。
• 用基于树分解和顶点采样的确定性递归方法替代先前工作中依赖随机化的顶点压缩。
• 提出一种新颖的边压缩技术，通过确定性的树链构造在动态图与稀疏支配子图之间保持嵌入。
• 使用偏移树链维护低拉伸森林，并在流计算过程中支持高效的环质量分析。
• 应用乘法权重以在动态低拉伸森林数据结构中平衡拉伸与更新成本。
• 将动态支配子图与低拉伸森林集成到循环近似框架中，以确定性方式计算最小比率环。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chen 等人提出的随机化 $m^{1+o(1)}$-时间最大流算法能否在保持近线性时间复杂度的前提下实现去随机化？
• RQ2 在动态图数据结构中，随机化顶点与边压缩的确定性替代方案有哪些？
• RQ3 能否在确定性条件下维护一种完全动态的低拉伸生成树，且摊还更新时间亚多项式？
• RQ4 能否为流算法构建一种具有亚多项式拉伸与更新成本的确定性支配子图？
• RQ5 对循环近似框架进行去随机化对最小费用流计算整体运行时间的影响是什么？

主要发现

• 本文实现了在容量、费用和需求多项式有界的有向图中计算精确最大流与最小费用流的确定性 $ m^{1+o(1)} $-时间算法。
• 该算法在一般情况下优于 Goldberg-Rao（1998）长期保持的 $ ilde{O}(m imes ext{min}igrace{m^{1/2}, n^{2/3}}igrace{}) $ 确定性最大流运行时间。
• 一种确定性的动态图数据结构维护了具有亚多项式拉伸和亚多项式摊还更新时间的稀疏支配子图。
• 作者构建了一种具有亚多项式平均拉伸和亚多项式摊还更新成本的确定性动态低拉伸森林。
• 该框架支持以 $ m^{1+o(1)} $-近似度确定性计算无向最小比率环，用于精确求解最小费用流。
• 结果表明，确定性算法可在最小费用流问题中实现几乎线性时间，从而填补了该领域随机化与确定性复杂度之间的主要差距。