[论文解读] A discretize-then-map approach for the treatment of parameterized geometries in model order reduction

Tommaso Taddei, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 65被引用 15

一句话总结

本文提出了一种用于具有几何变化的参数化PDE的模型降阶（MOR）的离散化后映射（DtM）方法，其中首先在参考域上对高保真（HF）有限元（FE）网格进行离散化，然后在在线阶段通过参数化映射进行变形。该方法使用经验积分法选择一组降维的单元，从而能够使用标准FE例程高效地组装残差，而无需修改HF代码，与标准的先映射后离散化方法相比，实现了更高的在线效率和更简单的实现。

ABSTRACT

We present a general approach for the treatment of parameterized geometries in projection-based model order reduction. During the offline stage, given (i) a family of parameterized domains {Ωμ : μ ∈ P} ⊂ RD where μ ∈ P ⊂ RP denotes a vector of parameters, (ii) a parameterized mapping Φμ between a reference domain Ω and the parameter-dependent domain Ωμ, and (iii) a finite element triangulation of Ω, we resort to an empirical quadrature procedure to select a subset of the elements of the grid. During the online stage, we first use the mapping to “move” the nodes of the selected elements and then we use standard element-wise residual evaluation routines to evaluate the residual and possibly its Jacobian. We discuss how to devise an online-efficient reduced-order model and we discuss the differences with the more standard “map-then-discretize” approach (e.g., Rozza, Huynh, Patera, ACME, 2007); in particular, we show how the discretize-then-map framework greatly simplifies the implementation of the reduced-order model. We apply our approach to a two-dimensional potential flow problem past a parameterized airfoil, and to the two-dimensional RANS simulations of the flow past the Ahmed body.

研究动机与目标

• 解决在具有几何变化的域上对参数化PDE进行高效模型降阶（MOR）的挑战。
• 克服标准的先映射后离散化（MtD）方法的局限性，后者需要修改HF求解器，且可能面临非协调网格和复杂变分公式的问题。
• 实现无需修改现有高保真有限元代码的在线高效降阶模型。
• 通过避免重新实现弱形式和系数项，简化降阶模型（ROM）的实现，尤其适用于非线性PDE。
• 通过经验积分法进行残差评估以及使用对偶残差范数估计进行误差控制，确保方法的鲁棒性和准确性。

提出的方法

• 在应用参数化映射Φµ之前，使用高阶等参数有限元（FE）方法在参考域Ω上对PDE进行离散化。
• 在离线阶段使用经验积分（EQ）过程，选择用于在线残差评估的低维单元子集（Ieq）。
• 在在线阶段，通过映射Φµ变形选定单元的节点，并重用标准单元级残差评估例程。
• 利用变形后的网格和经验积分权重，构建降阶模型，以高效地近似残差及其Jacobian。
• 通过提升函数（控制函数法）施加非齐次Dirichlet边界条件，兼容强约束和弱约束形式。
• 利用经验测试空间和积分权重估计对偶残差范数，实现无需求解完整HF问题的在线误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不修改高保真有限元代码的前提下，高效地将模型降阶应用于具有参数化几何形状的PDE？
• RQ2 与标准的先映射后离散化方法相比，先离散化后映射在实现和计算方面有何优势？
• RQ3 经验积分能否有效降低参数化几何形状下降阶模型中残差组装的计算成本？
• RQ4 在离散化后映射框架中，如何利用对偶范数和经验测试空间实现准确的在线误差估计？
• RQ5 DtM方法在处理如RANS方程等非线性PDE时，其精度和收敛性在多大程度上得以保持？

主要发现

• 离散化后映射（DtM）方法可在不修改现有高保真有限元求解器的前提下，实现在线高效的降阶模型。
• 经验积分法将残差组装中使用的单元数量减少至总网格数的10%以下，显著提升了计算效率（以Ahmed车身问题为例）。
• 对偶残差范数估计实现了准确的在线误差控制，估计残差在势流和RANS测试案例中均与真实相对H1误差紧密跟踪。
• 该方法实现了高精度，其降阶积分域（RID）无需与映射的粗粒度分区保持一致，这与MtD方法不同。
• 在二维Ahmed车身RANS模拟中，该方法成功处理了带有SUPG、LSIC和PSPG稳定化的非线性、稳定化有限元公式，展示了对复杂流动的鲁棒性。
• 该方法通过允许重用标准单元级残差例程而无需重新推导含变系数的弱形式，显著简化了实现，尤其适用于非线性问题。