[论文解读] A registration method for model order reduction: data compression and geometry reduction

Tommaso Taddei|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 62被引用 87

一句话总结

本文提出一种通用的、与方程无关的配准方法用于参数化模型降阶，其构建一个参数依赖的双射，将解（或几何形状）映射到更适合线性压缩的形式，并给出理论保证以及2D数值演示。

ABSTRACT

We propose a general --- i.e., independent of the underlying equation --- registration method for parameterized Model Order Reduction. Given the spatial domain $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$ and a set of snapshots $\\{ u^k \\}_{k=1}^{n_{\ m train}}$ over $\\Omega$ associated with $n_{\ m train}$ values of the model parameters $\\mu^1,\\ldots, \\mu^{n_{\ m train}} \\in \\mathcal{P}$, the algorithm returns a parameter-dependent bijective mapping $\\boldsymbol{\\Phi}: \\Omega \ imes \\mathcal{P} \ o \\mathbb{R}^d$: the mapping is designed to make the mapped manifold $\\{ u_{\\mu} \\circ \\boldsymbol{\\Phi}_{\\mu}: \\, \\mu \\in \\mathcal{P} \\}$ more suited for linear compression methods. We apply the registration procedure, in combination with a linear compression method, to devise low-dimensional representations of solution manifolds with slowly-decaying Kolmogorov $N$-widths; we also consider the application to problems in parameterized geometries. We present a theoretical result to show the mathematical rigor of the registration procedure. We further present numerical results for several two-dimensional problems, to empirically demonstrate the effectivity of our proposal.

研究动机与目标

• 开发一个配准框架，产生一个参数依赖的双射 Φ，将解/几何映射到更适合线性压缩的空间。
• 在特定条件下，为配准映射及其可逆性建立理论保证。
• 通过在2D中的数值实验，展示两个应用：解场的数据压缩和参数化域的几何简化。
• 将配准方法与标准的 pMOR 离线/在线范式以及基于 POD 的压缩相结合。

提出的方法

• 定义一个参数映射 Φ: Ω × P → R^d，对所有 μ ∈ P 都是双射。
• 使用参考 μ̄ 和一组快照，建立一个非线性、非凸优化，以最小化参考映射场的差异。
• 将 Φ 表示为 Ψ_a^hf(X) = X + ∑_{m=1}^{M_hf} a_m φ_m^hf(X)，其中 φ_m^hf ∈ Lip(U, R^d)，并通过对雅可比行列式 det(J) 的约束来启发式地确保可逆性。
• 基于离线训练数据，使用核回归为所有 μ ∈ P 生成映射 Φ_μ。
• 对数据（映射后的解）和几何（映射域）同时应用配准，以在映射流形上实现线性降维（例如 POD）。
• 将该方法嵌入离线/在线 pMOR 范式，采用基于 POD 的降维空间和基于回归的在线预测器。

(a)

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一个参数依赖的注册映射 Φ，使映射后的快照与参考场之间的差异最小？
• RQ2 在什么条件下，注册映射是双射且可逆的，从而确保映射问题是良定义的？
• RQ3 该映射如何提高参数化解的集合在线性降维上的可控性，尤其是当 Kolmogorov N-width 收敛较慢时？
• RQ4 该注册框架是否同样适用于解的数据显示压缩与参数化域的几何简化？

主要发现

• 该注册过程产生一个参数依赖的双射，将 Ω 映射到自身（或 Ω_μ），以提高线性可压缩性。
• 理论结果确立了确保映射双射性和可逆性的条件，并给出映射的具体构造形式。
• 在二维数值实验中证明了该方法在数据压缩和几何简化方面的有效性。
• 该方法与基于 POD 的压缩以及离线/在线 pMOR 工作流相整合，提供一个通用、与方程无关的注册步骤。
• 本文讨论了与最优传输及其他非线性压缩思想的联系，为该方法提供了扎实的理论基础。

(b)