[论文解读] A general framework for perfect simulation of long memory processes

Emilio De Santis, Mauro Piccioni|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种通用框架，通过基于信息深度的后向耦合时间与改进的耦合函数，实现对具有可数状态空间的长记忆随机过程的完美抽样。该方法通过引入一种新型耦合函数，使在更宽松的假设下实现几乎必然耦合成为可能，从而扩展了先前工作，尤其适用于有限有向图上的广义随机游走，其结构为不可约且非周期性的。

ABSTRACT

In this paper a general approach for the perfect simulation of a stationary process with at most countable state space is outlined. The process is specified through a kernel, prescribing the probability of each state conditional to the whole past history. We follow the seminal paper of Comets, Fernandez and Ferrari, where sufficient conditions for the construction of a certain perfect simulation algorithm have been given. We generalize this approach by defining backward coalescence times for these kind of processes; this allows us to construct perfect simulation algorithms under weaker conditions.

研究动机与目标

• 开发适用于可数状态空间的平稳长记忆过程的通用完美抽样框架。
• 将现有完美抽样方法从马氏链扩展至具有无限记忆的随机过程。
• 通过引入基于信息深度的后向耦合时间，弱化完美抽样所需的条件。
• 通过改进的耦合函数，建立几乎必然耦合与平稳过程唯一性的充分条件。
• 将该框架应用于有限有向图 $ \mathcal{G} = (G, \mathcal{A}) $ 上的广义随机游走，其中图结构为不可约且非周期性。

提出的方法

• 为具有无限记忆的过程引入后向耦合时间，其定义基于信息深度，即一个适应于过去历史的停止时间。
• 从信息深度出发，定义后向耦合时间的标准构造方式，确保在适当条件下几乎必然有限。
• 提出一种依赖于多个均匀随机变量的改进耦合函数，其耦合性能优于单变量耦合。
• 以 [CFF02] 中的最优耦合函数为基础，进一步修改以处理初始耦合未能实现耦合的情形。
• 通过将 CFTP（从过去耦合）原理与伽马耦合器方法结合，确保完美抽样。
• 建立在扩展状态空间 $ G^{l+1} $ 上的诱导马尔可夫核实现后向耦合与唯一平稳分布的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于以往已知条件的假设下，是否可实现对可数状态空间长记忆过程的完美抽样？
• RQ2 如何为具有无限记忆的非马氏过程构造后向耦合时间？
• RQ3 对耦合函数进行何种修改，可确保在不依赖强极小化条件的情况下实现几乎必然耦合？
• RQ4 在何种条件下，扩展状态空间 $ G^{l+1} $ 上的诱导马尔可夫核可保证完美抽样？
• RQ5 该框架是否可应用于有限有向图 $ \mathcal{G} = (G, \mathcal{A}) $ 上的广义随机游走，其中图结构为不可约且非周期性？

主要发现

• 若信息深度几乎必然有限，则可为与核 $ p $ 兼容的平稳过程几乎必然构造出后向耦合时间。
• 改进的耦合函数 $ \hat{f} $ 依赖于 $ |G|+1 $ 个均匀随机变量，在弱于原始最优耦合函数的条件下，仍能确保后向耦合。
• 对于有限状态空间，若诱导马尔可夫核具有唯一、非周期性、不可约的类，则后向耦合以概率 1 成立。
• 该框架适用于有限有向图 $ \mathcal{G} = (G, \mathcal{A}) $ 上的广义随机游走，前提是 $ \sum_{n=1}^\infty \prod_{m=1}^n a_m = \infty $，$ \mathcal{G} $ 为不可约且非周期性，且对每个 $ g \in G $，存在 $ w \in G $ 使得 $ (w,g) \notin \mathcal{A} $。
• 当 $ a_1 = \dots = a_l = 0 $ 且 $ a_{l+1} > 0 $ 时，该方法可扩展至 $ G^{l+1} $ 上的马尔可夫核，同时保持耦合与抽样性质。