[论文解读] A hierarchic multi-level energy method for the control of bi-diagonal and mixed n-coupled cascade systems of PDE's by a reduced number of controls

Fatiha Alabau‐Boussouira|Jan 28, 2014

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering被引用 18

一句话总结

本文提出一种分层多级能量方法，通过减少控制数量，实现对n个耦合的双对角及混合级联PDE系统的精确可控性。在部分强制性条件下，建立了双曲型、热传导型和Schrödinger型系统的可观测性与可控性结果，证明了在维度大于2时n ≤ 5以及在一维情况下任意n ≥ 2的零可控性，即使控制区域与耦合区域不相交。

ABSTRACT

This work is concerned with the exact controllability/observability of abstract cascade hyperbolic systems by a reduced number of controls/observations. We prove that the observation of the last component of the vector state allows to recover the initial energies of all of its components in suitable functional spaces under a necessary and sufficient condition on the coupling operators for cascade bi-diagonal systems. The approach is based on a multi-level energy method which involves $n$-levels of weakened energies. We establish this result for the case of bounded as well as unbounded dual control operators and under the hypotheses of partial coercivity of the $n-1$ coupling operators on the sub-diagonal of the system. We further extend our observability result to mixed bi-diagonal and non bi-diagonal $n+p$-coupled cascade systems by $p+1$ observations. Applying the HUM method, we derive the corresponding exact controllability results for $n$-coupled bi-diagonal cascade and $n+p$-coupled mixed cascade systems. Using the transmutation method for the wave operator, we prove that the corresponding heat (resp. Schrödinger) multi-dimensional cascade systems are null-controllable for control regions and coupling regions which are disjoint from each other and for any positive time for $n \le 5$ for dimensions larger than $2$, and for any $n \ge 2$ in the one-dimensional case. The controls can be localized on a subdomain or on the boundary and in the one-dimensional case the coupling coefficients can be supported in any non-empty subset of the domain.

研究动机与目标

• 为解决在工程与物理领域中实际且成本效益高的应用背景下，使用最少数量控制来控制复杂级联PDE系统的问题。
• 通过仅使用p+1个观测或控制，建立双对角及混合n+p耦合级联系统精确可观测性与可控性的必要与充分条件。
• 通过变换方法将可控性结果扩展至抛物型（热传导）和色散型（Schrödinger）系统，即使控制区域与耦合区域不相交。
• 开发一种新颖的多级能量方法，系统性地在n个层级上弱化能量估计，从而仅通过观测最后一个分量即可恢复全部初始能量。

提出的方法

• 构建一种分层多级能量方法，包含n个层级的弱化能量估计，以在双对角系统中将可观测性从最后一个分量传播至所有其他分量。
• 该方法依赖于基于次对角线上耦合算子结构的递归能量衰减论证，且在部分强制性假设下成立。
• 通过HUM方法推导可观测性估计，将控制问题转化为对偶系统的可观测性不等式。
• 对于抛物型与Schrödinger系统，应用变换方法于波动算子，将双曲型情况下的可控性结果转移至热传导与Schrödinger方程。
• 使用归纳法将前n+q个方程的可观测性估计扩展至完整的n+p系统，整合额外的非双对角耦合。
• 该方法可处理有界与无界控制算子，并适用于控制区域与耦合区域不相交的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过一个控制并仅观测最后一个分量，实现对n个耦合的双对角级联PDE系统的精确可控性？
• RQ2 耦合算子需满足何种条件，才能保证通过观测最后一个分量即可恢复所有分量的全部初始能量？
• RQ3 可观测性与可控性结果能否扩展至使用p+1个观测的混合双对角与非双对角n+p耦合系统？
• RQ4 当控制区域与耦合区域不相交时，热传导与Schrödinger系统的零可控性是否可能实现？
• RQ5 在多维设置下，控制区域与耦合区域不相交时，零可控性成立的最大分量数n是多少？

主要发现

• 对于n个耦合的双对角级联系统，仅通过一个控制并仅观测最后一个分量，即可在耦合算子满足必要与充分条件时实现精确可控性。
• 该方法证明了对最后一个分量的可观测性可确保在适当函数空间中恢复全部初始能量，即使耦合算子仅满足部分强制性条件。
• 在维度大于2时，对任意n ≥ 2的一维系统以及n ≤ 5的多维热传导与Schrödinger系统，均建立了零可控性，且控制区域与耦合区域不相交。
• 变换方法成功地将波方程的可控性结果转移至热传导与Schrödinger方程，对任意正时间均保持零可控性。
• 该方法允许控制定位在子区域或边界上，且在一维情况下，耦合系数可支持在区域的任意非空子集上。
• 通过递归归纳法，从第一组n+q个分量的估计扩展至完整系统，实现了对混合n+p耦合系统的可观测性。